数学の問題です。解き方がわからず手がでません・・・

質問

いかなる3桁の数も、各位の数字を大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差をつくり、得られた数について、さらにこの操作を繰り返すと、いつかは必ず４９５になる。
という問題なんですが、電卓でやると本当になるんです。ビックリしました。でもいざ証明しようとなるとどう考えればいいのかがわかりません。解き方がわかる人いましたら教えて下さい。

回答No.4

poohron · ベストアンサー

とりあえず、「いかなる3桁の数も」というのはちょっと違いますね。
３桁とも同じ数字の場合は0になってしまうのでダメです。
それと、２つの同じ数字とそれよりも1小さい数字の組み合わせの場合は差が99になってしまいます。
（これは99＝099として無理やり３桁に置き換えてしまえば良いですが…）

さて、それでは「３つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」という条件をつけましょう。

大きい順に３つの１桁の数字をそれぞれp,q,rとします。
条件「３つの数字の内、少なくとも一つは異なる数字である」より、p>r

大きい順に並べた３桁の数字は、100p+10q+r です。
小さい順に並べた３桁の数字は、100r+10q+p です。
２つの差は、99p-99r
すなわち、99(p-r)であり、必ず99の倍数になります。
p>rなので、p-rの取り得る値は1～9のいずれかの整数です。

ここで、p-rをnと置き換えます。
99(p-n)=99n
=100n-n
=100(n-1)+100-n
nは1～9のいずれかの整数なので、100-nは91～99のいずれか。
そこに100の倍数を加算するので、
大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差（=99(p-r)）の10の位は必ず9です。

9の倍数の全ての桁を足し合わせた数は、必ず9の倍数になるという性質を利用すると、
100の桁と1の桁の組み合わせは以下の4通りしかありません。
1と8、2と7、3と6、4と5

ここでちょっとp-rについて考えてみましょう。
最初に、pは3つの中でいちばん大きな数、rはいちばん小さな数として定義しましたよね。
99(p-r）の10の位は必ず9ということが既に判明してますから、p=9
rは先ほどの4通りの組み合わせから、1～4のいずれかです。
ということは、p-rは5～8のどれかになります。
つまり、99(p-r)は、
p-r=5のとき495（一番小さな数は 4）→9-4＝5
p-r=6のとき594（一番小さな数は 4）→9-4＝5
p-r=7のとき693（一番小さな数は 3）→9-3＝6
p-r=8のとき792（一番小さな数は 2）→9-2＝7

p-rが5以外のときは、次に出来るp-rはその前に出来たp-rと異なります。
p-r=5の時のみ出来る数字は変わらず、最終的には（ゾロ目以外の）全ての3桁の数字が 495になります。

う～ん、長すぎて訳わかんなくなっちゃったかも…。

お礼

う～ん、、考え方がわかった気がします。もうちょっと考えてみます。
ありがとうございます。

回答No.8

shkwta

以下の証明で、各文字は、0以上9以下の整数を表わすものとします。
また、３つの数字x,y,zをこの順に並べてできる３桁の数を[x|y|z]で表わすことにします。
[x|y|z]＝100x + 10y + z

さて、a＞b＞cとします。ここで、a＞c+1であることに注意してください。
[a|b|c]－[c|b|a] ＝ [a-c-1|9|10+c-a]　（ア）
ここで g＝a-c-1, h＝10+c-a とおきます。a＞c+1より、1≦g≦8, 1≦h≦8
また, g＋h＝9 ですから g≠h
よって、9,g,hは互いに異なります。gとhのうち大きいほうをs, 小さいほうをtとおきます。
次の段階に進みます。
[9|s|t]－[t|s|9]＝[s-1|9|t+1]　（イ）
もし、s-1＜t+1となった場合は、s＝5, t＝4であり、これ以後何度（イ）を適用しても差は495となります。
s-1＞t+1のときは、s-1をあらためてs、t+1をあらためてtとおいて再び（イ）を適用します。すると、sは1回ごとに1減少、tは1回ごとに1増加するので、3回以内にs＝5, t＝4になります。（証明終）

お礼

難しい・・・深く考えて勉強してみます。
ありがとうございます

回答No.7

kansai_daisuki

0<=a<=9,
0<=b<=9,
0<=c<=9
a,b,cの最大値をa、最小値をc、
Q=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
とおく。

[1]a>cのとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100(a-c)+10(b-b)+(c-a)
=100(a-c)+(c-a)
=100(a-c)-(a-c)
=99(a-c)

ここで、
a=9かつc=0のとき、a-cの値が最大となり、その値は9
a=1かつc=0のとき、a-cの値が最小となり、その値は1
になる。

よって、
(1)a-c=1のとき、Q=99×1=099⇔最大値9、最小値0、差分9⇒(9)に移行
(2)a-c=2のとき、Q=99×2=198⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
(3)a-c=3のとき、Q=99×3=297⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(4)a-c=4のとき、Q=99×4=396⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(5)a-c=5のとき、Q=99×5=495⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(6)a-c=6のとき、Q=99×6=594⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(7)a-c=7のとき、Q=99×7=693⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(8)a-c=8のとき、Q=99×8=792⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(9)a-c=9のとき、Q=99×9=891⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行

以上より、a>cのとき任意の3桁の数は、
(5)に帰着する。即ち、495に帰着する。

[1]a=c (即ち、a=b=c)のとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=(100a+10a+a)-(100a+10a+a)
=0
即ち、a=cのとき任意の3桁の数は、0に帰着する。

回答No.6

kansai_daisuki

0<=a<=9,
0<=b<=9,
0<=c<=9
a,b,cの最大値をa、最小値をc、
Q=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
とおく。

[1]a>cのとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100(a-c)+10(b-b)+(c-a)
=100(a-c)+(c-a)
=100(a-c)-(a-c)
=99(a-c)

ここで、
a=9かつc=0のとき、a-cの値が最大となり、その値は9
a=1かつc=0のとき、a-cの値が最小となり、その値は1
になる。

よって、
(1)a-c=1のとき、Q=99×1=099⇔最大値9、最小値0、差分9⇒(9)に移行
(2)a-c=2のとき、Q=99×2=198⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
(3)a-c=3のとき、Q=99×3=297⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(4)a-c=4のとき、Q=99×4=396⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(5)a-c=5のとき、Q=99×5=495⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(6)a-c=6のとき、Q=99×6=594⇔最大値9、最小値4、差分5⇒(5)に移行
(7)a-c=7のとき、Q=99×7=693⇔最大値9、最小値3、差分6⇒(6)に移行
(8)a-c=8のとき、Q=99×8=792⇔最大値9、最小値2、差分7⇒(7)に移行
(9)a-c=9のとき、Q=99×9=891⇔最大値9、最小値1、差分8⇒(8)に移行
となり、(5)に帰着する。
即ち、a>cのとき任意の3桁の数は、495に帰着する。

[1]a=c (即ち、a=b=c)のとき、
Q
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=(100a+10a+a)-(100a+10a+a)
=0
即ち、a=cのとき任意の3桁の数は、0に帰着する。

お礼

この考え方すごいと思います!かなり参考になりそうです。ありがとうございます

回答No.5

wangwinf

はじめの三桁の数字をとひっくり返した数字をabc,cbaとします。（a,b,cにはそれぞれ０～９までの数字が入ります）どっちでもいいのですが、数字が大きい方をaとしましょう。引き算を計算すると、1桁目と2桁目は
1bc-ba=9(1c-a)となり、3桁目は1くり下がりがあったので(a-c-1)になります。つまりその数字は、3桁目が
(a-c-1)、２桁目が9、3桁目が(1c-a)という数字です。
その数字と3桁目と1桁目を足すとa-c-1+10+c-aで9になりますね。
よってその出てくる数字は099,198,297,396,495,594,693,792,891,990のうちのどれかという事です。
これをひっくり返したものとペアを組み、片っ端から計算していくと
(099,990)→(891,198)→(693,396)→(297,792)→(495,594)→099にもどる

という輪ができます。この図の意味は、例えば1回目で出てきた数が891か198だったら次の数は693、その次は297、その次は495とか1回目で出てきた数が99か990だったら次の数は891とかそういうことです。これらは完全に輪になっており、どんどん計算していけば必ず495にぶち当たります。1回目の計算で出てくる数は全て上の図の中の数字のどれかなので、これで495が必ず出てくることが証明されました。

お礼

なるほど、こういう考え方も!参考にさせていただきます。ありがとうございます

回答No.3

threelions7

これって99の倍数のどれかになるって話ではないですか？
x>y>zと仮定すると
大きい順に並べた三桁の数は 100x+10y+z
小さい順に並べた三桁の数は 100z+10y+x
この二つの差は　99(x-z)
となるのでx-zが5の場合は、495になると思いますし、x-zが4の場合は、396になると思います。
ですから、これを繰り返せばいつかは495になると思いますよ。
この問題のポイントは、10の位の数が変わらないから、必ず99が現れることじゃないかと思います。

お礼

考えて下さってありがとうございます。

回答No.2

Noy

え、そもそも、成り立つんでしょうか…
全部の桁が同じ数字（４４４とか）だったら、無理なんじゃないですか？？

補足

本当でした。ぞろ目は禁止ということでは成り立ちますよね?それでなんとか証明はできないでしょうか

回答No.1

TK0318

>いかなる3桁の数も、各位の数字を大きい方から順にならべた数と、小さい順に並べた数との差をつくり、得られた数について、さらにこの操作を繰り返すと、いつかは必ず４９５になる。

これですが成り立たない３桁の数が存在しますので偽です。３桁がすべて同じ数字だと成り立ちません。