何気なく買った本の問題

質問

数年前何気なく買った本にこのような問題がありました。
「各桁の数字が異なる４桁の数がある。
その４桁の数字を大きい順に並べ替えたものから小さい順に並べ替えたものを引くと元の数と等しくなった。その数はいくらか。」

ちなみに、この問題の答えは適当な４桁の数字から出発すると（例えば１４年９月ということで１４０９としておきます）、９４１０－０１４９＝９２６１⇒９６２１－１２６９＝８３５２⇒８５３２－２３５８＝６１７４⇒７６４１－１４６７＝６１７４…ということで６１７４ということらしいです。

そこで質問ですが、どうしてこのような求め方ができるのでしょうか。また、他の考え方はあるのでしょうか。

回答No.5

mmky · ベストアンサー

No4さんの質問に対して
｛B=(b-c)-1, C=9+(c-b) =9-(b-c)＝8-B, B+C=8
BとC　の関係式を見ると(b-c)=2 B=1 しか答えがないことがわかります。｝
これご指摘のとおり少し乱暴すぎましたね。
この部分だけ考え方を補足します。
(b-c)の数字として、（100の位から1が引ける数と置いたので）
与えられる数は2から7までの中にあります。
条件 a>b>c>d≧0　
ｂは8より少ない数、ｃは1以上の数、ｂとｃは、2以上離れた数
この中で数（ｂc)の数の組み合わせは、
ｂとｃの差が2の時:（ｂc)：86,64,42,75,53,31
ｂとｃの差が3の時:（ｂc)：85,63,41,74,52
ｂとｃの差が4の時:（ｂc)：84,62,73,51
ｂとｃの差が5の時:（ｂc)：83,72,61　
・B≠C≠4 から(b-c)≠5で 除外可
ｂとｃの差が6の時:（ｂc)：82,71
ｂとｃの差が7の時:（ｂc)：81 　
だから、(b-c)=2 のとき、a>b>c>d の条件と与えられた
命題を満たすチャンスが最大になる。
(b-c)=2で答えのチャンスがなければ、その他の数であるチャンスは無いか
限りなく小さい。
その他で無いことを厳密に証明する必要がNo4さんに指摘されましたので、
そこで、以下が証明です。B+C=8,A+D=10、A,B,C,Dとならべた四桁数字で、
(b-c)＝3の時、B=2,C=6 ,{ABCD}=9261,7263 (8262は除外される。）
(b-c)＝4の時、B=3,C=5 ,{ABCD}=9351,8352,6354
(b-c)＝5の時は検討から除外できる。
(b-c)＝6の時、B=5,C=3 ,{ABCD}=9531,8532,6534
(b-c)＝7の時、B=6,C=2 ,{ABCD}=9621,7623
最大から最小の数を引いた数が元の数字（AからDの数字）
になるものは無いですね。だから、
(b-c)＝2、B=1の時しか回答を得るチャンスはないといえますね。
ちなみに、Bが最小の条件が一番A,Dの選択肢が多い。
B=1 の時は、B=1,C=7 ,{ABCD}=8172,6174,4176,2178
の４つが出ますね。
でも解は,{6174}:7641-1467={6174}のみ。
No4さんこんなのでいいかな。

回答No.6

hanasaka

詳しい解説ありがとうございます。
即”～しか答えがないことがわかります。”だったので簡単に分かるものなのかと思ってしまいました。やはり消去法でしかないのですね。
　penmaruさん横入りしちゃって申し訳ありません。
No.４とこの回答は質問に対する回答ではないので削除して頂いてかまいませんので。
　失礼いたしました。

お礼

質問の解決にご協力ありがとうございました。

またhanasakaさんに質問に答えていただくこともあろうかと思いますのでそのときはよろしくお願いします。

最後に、NO.4とNo.6のお礼を同時に済ませたことをお詫びします。

回答No.4

hanasaka

横レスで大変申し訳ないのですが、mmkyさんの回答の「まず、BとCの関係式を見ると(b-c)=2 B=1 しか答えがないことがわかります。」の部分がなぜそうなるのか分からないので教えていただきたいのですが・・・。
　Ｂの値が９，８，４でないことは分かるのですが、それ以外が排除できるのはなぜですか？
　人の質問上で申し訳ありません。お願いいたします。

回答No.3

mmky

命題の数字を{A,B,C,D}とします。
この数字を構成する数字を大きい順に並べて得られる数字をX={a,b,c,d} 、また小さい順に並べて得られる数字をY=｛d,c,b,a｝とします。
この２つの数字X,Yを引いて得られる数字列は
Z=X-Y＝｛(a-d),(b-c),(c-b),(d-a)} になります。
このZが四桁数字となるためには、
(a-d)＞0,(b-c)＞0,(c-b)＞0,(d-a)＞0　の条件が
いります。ところが命題により a>b>c>d>0 なので
一の位と１０の位には操作が必要になります。
（(c-b),(d-a)は明らかにマイナスになる故）
100の位から1を引き10と1の位に操作を行うと
Z1＝｛(a-d),(b-c-1),（9+(c-b)),（10+(d-a)）}
が数字として得られます。
これが｛A,B,C,D｝に等しいという問題ですので
A=(a-d)　
B=(b-c)-1
C=9+(c-b) =9-(b-c)=8-B
D=10+(d-a) =10-(a-d)=10-A
これから　A+D＝10　B+C=８
という関係式が得られます。
まず、BとC　の関係式を見ると(b-c)=2 B=1 しか答えがないことがわかります。そこで、B=1、C=7　が確定します。
AとDの関係は、10の共役数であり、AがCより大きい数であるとすると、
A=8、D=2　ところが　A=8 とするとB=1、C=7　なので、
a=8, d=1 となり(a-d)=7≠8 ですので元の数にはなりません。
そこで、小さい数を選ぶと、A=6、D=４、小さい数では、
これ以外の組み合わせはありません。
この場合、a=7, b=1 (a-b)=6=A を満足します。
という少し長くなりましたが、
命題の四桁数字は｛6,1,7,4}以外には解はないようです。

お礼

かなり詳しい証明をしてくださりありがとうございました。
質問しようか迷ったのですが、質問してよかったと思います。

回答No.2

kony0

まず、解は6174以外にはないようです。

あと、高々４桁の整数（1は[0001]として４桁の整数と考えます）のうち、すべてゾロメ（[7777]等）以外のものは、上記操作を何回か繰り返すことにより6174にたどり着くようです。（高々7,8回すればすべて行き着くようです）

循環して6174にたどり着かないものも中にはあるかなぁと思ったのですが・・・なかったですねぇ。

すべての数字について、Excelかなにかで調べ尽くしたものも、立派な「数学的な」解法と考えます。（笑）

お礼

その本の著者の方は立派な数学者ですから、立派な数学的方法なのでしょう。
ぞろ目でない数字なら最後は６１７４になるというのは不思議ですね。

回答No.1

鳴瀬 美幸（@naruse）

オリジナルの問題に対する解答ではありませんが、「カプレカー」で検索をかけてみては如何でしょうか。

お礼

カプレカーという方が考え出されたのですね。

実は検索もしないで「カプレカー」とは何ですか？という補足をするところだったのでお礼が遅れたのと重ねてお詫びします。