流出体積の求め方

質問

半径rの半球の形状をした器に水が入っています。
　この半球の断面形状を

x^2+(y-r)^2≦r^2 (0≦y≦r)

とします。原点(0,0)の部分に穴をあけると-y方向に水が流出します。
　時間tの時、水位がyでした。dt時間後に水位はdy下がりました。ここで、tからdt時間の間に流出した水の体積dVを求めたいと思います。
　器の形状が球ではなく、底面の半径rの円柱ならば、dV=(πr^2)dyとなりますが、球となると底面の面積が変化するためどうしたらよいのか分かりません。
　こ存知の方教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

abyssinian · ベストアンサー

半球を、水平に輪切りにします、極めて薄く切れば、面積の、厚さ方向の変化は極めて小さいので無視できて、その体積=面積×厚さです。面積は式で与えられてるので、厚さをdyとすれば、その薄片の体積は
　dV=(面積の式)dy

流量を求める課題なら、出口の抵抗に関する式が与えられてませんか。流れの抵抗が0なら、自由落下と同じです。

お礼

ご回答ありがとうございます。微小変化の時は厚さ方向の変化は無視できるのですね。ちなみに
　dV=π[r^2-(y-r)^2]dy
でよいのでしょうか。

回答No.2

abyssinian

面積=π半径^2　だから合ってます。
（半球だし、僕的には、(y-r)よりか、作図的に長さがプラスになる、(r-y)の方が好きだったりします。）

お礼

再びご回答ありがとうございました。おかげさまで理解できました。