半球の容器 水の体積

質問

半径12cmの半球の容器に水が満たされており、この半球を30°傾けた時、容器に残っている量を求めたいです。x^2+(y-6)^2=12^2という円を考えればよいと書いてあるのですが、これはどうやって導いたのでしょうか？

よろしくお願いします。

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回答No.8

noname#223095

半径が12の半球状の容器(おわん)の中心はどこまでもNで表すことにします．この容器の口が水平になるようにした状態で水を一杯入れたときの様子を表しているのが，２つある図うちの上側の図です．赤で表された部分というのは，そのときの容器内にある水の表面を表しています．

次に，この容器を30°傾けます．当然のことながら一部の水はおわんから流れ落ちます．このときの状態を表したのが２つある図のうちの下側の図です．ここでも同じく，赤で表された部分(形状は円)は容器に残っている水の表面です．この赤の部分より上側部分にあった容器内の水があふれ出た・・・と考えるとわかりやすいでしょう．そして，この赤で表された円形の水面より下側部分にある水の体積が求めたいものです．

このときの水面(形状は円)の中心をOで表すことにします．下側の図に示された通り容器の中心NはOの真上6cmの所にあります．このときの様子を「真横」から見たときの様子をイメージして下さい．与えられた下の図では，赤で色づけされた水面は実は円形なのだが，斜めから見ているので薄い楕円形に見えています．しかし，それを「真横」から見ると，水面部分はもはや楕円には見えず赤い線分に見えることでしょう．また，容器全体は半円に見えます．

水面の中心Oから右手方向にx軸を，Oから真上Nの方向にy軸を設定します．そして，真横(xy平面に垂直方向)から見て半円に見えている容器の円周部分を表す方程式を書いてみると，中心N(0, 6)，半径12であるから，

　　　　　x^2＋(y‐6)^2 = 12^2・・・(1)

となります．ここで，１つ注意してほしいことがあります．この容器はxy平面に垂直方向から見ているので半円に見えますが，この半円をNを中心にして半時計まわりに30°だけ回転しても，周の部分を表す方程式は(1)と変わらないということです．ちょっと別の表現をするなら，円板というのは，その中心まわりに何度回転しようが，回転前と常にぴったり重なる・・・ということです．

ですから，傾けている容器を水がこぼれないよう，容器の口が水平になるまで半時計方向に30°戻してやり，そのとき残って容器内の水量を計算してもよい訳です．なぜ，このようなことを申し上げたか・・・というと，やはり容器が傾いているという事態が問題を難しく見せているのかも・・・と思ったからです．

そうすることで，容器の口は水平になり，中心はN(0, 6)，半径12の円とx軸ではさまれた部分をy軸回りに回転してできる立体の体積が求めるもの・・・ということになります．このあとは，私が最初に与えた回答を見て頂くと理解できるのでは・・・と思われます．

以上，参考になりましたら．

回答No.7

atkh404185

原点を中心にすれば

ここでいう原点とはどこでしょうか？

　　　　↓↓↓

質問にある《　球の中心　》です。

この《　球の中心　》を通るように、

球を縦に切れば半径１２の円になりますね。

すると、この《　球の中心　》は円の中心になりますね。

　　この《　球の中心　》を原点にとる

ということです。

このとき、半球を30°傾けたとき（下の図）の水面が
この場合、
直線 y=-6

　　　↓↓↓

３０°傾けると、質問の下の図のように、直角三角形が

作れますね。

３辺の長さの比は

　　　2：1：√3

ですね。

このことを使えば、３０°傾けたとき、

水面は、球の中心から、真下に ６cm の位置にあることがわかりますね。

中心を原点にとったから、

y座標は

　　　　0

ですね。

0-6＝-6

だから、

　　　　y=-6

になります。

回答No.6

bunjii

>h=6cmになるところが少しわからないです
あなたが質問に添付した画像では球の中心から液面まで6cmとしています。
球の中心から液面までの高さはsin(30°)×12cm=0.5×12cm=6cmとして提示されたものと推測します。
中心から球面まではどこを測っても12cmであることは理解できますよね？
従って、液の最深（h）は12cm-6cm=6cmとなります。

回答No.5

atkh404185

半径12cmの半球の容器に水が満たされており、
この半球を30°傾けた時、容器に残っている量を求めたいです。

　　　↓↓↓

図から、水の量（体積）を求めるのは、なかなか大変だと思います。

それで、積分を使って（グラフを描いて）体積を求めることになります。

これは、半球ですが、球を真横から見ると、当然、円になるわけですが、

半径は １２ です。

グラフを描くためには、方程式（関数）が必要です。

で、この式を作るには、円の中心の座標が必要です。

この中心をどこにとるかです。

自分が、問題が解きやすいように、中心を決めればよいのです。
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例えば、

１　原点を中心にすれば、円の方程式は

　　x^2+y^2=12^2 ・・・・・・（Ａ）

になります。

このとき、半球を30°傾けたとき（下の図）の水面が

この場合、

直線 y=-6 ・・・・・・（Ｂ）

になることがわかればよいのです。

だから、求める体積は、

（Ａ）と（Ｂ）の囲まれた部分をｙ軸の周りに１回転した体積

になります。

積分区間は　-12　→　-6

ですね。

だから、求める体積は

∫[-12 → -6]πx^2dy

=∫[-12 → -6]π(12^2-y^2)dy

=π∫[-12 → -6](144-y^2)dy

=π[144y-(1/3)y^3][-12 → -6]

=π[{144×(-6)-(1/3)(-6)^3}-{144×(-12)-(1/3)(-12)^3}]

=π{(-864+72)-(-1728+576)}

=360π (cm^3)

２　中心を点(0，6)にすれば、円の方程式は

x^2+(y-6)^2=12^2 ・・・・・・（Ｃ）

になります。

これが、質問にある式です。

半球を、30°傾けたとき、水面は、

x 軸　（直線 y=0）・・・・・・（Ｄ）

になります。

求める体積は、

（Ｃ）と（Ｄ）の囲まれた部分をｙ軸の周りに１回転した体積

になります。

積分区間は　-6　→　0

ですね。

だから、求める体積は

∫[-6 → 0]πx^2dy

=∫[-6 → 0]π{12^2-(y-6)^2}dy

=π∫[-6 → 0](144-y^2+12y-36)dy

=π∫[-6 → 0](-y^2+12y+108)dy

=π[-(1/3)y^3+6y^2+108y][-6 → 0]

=π[0-{-(1/3)(-6)^3+6×(-6)^2+108×(-6)}]

=π{-(72+216-648)}

=360π (cm^3)

３　中心を点(0，12)にすれば、円の方程式は

x^2+(y-12)^2=12^2 ・・・・・・（Ｅ）

になります。

半球を、30°傾けたとき、水面は、

直線 y=6 ・・・・・・（Ｆ）

になります。

求める体積は、

（Ｅ）と（Ｆ）の囲まれた部分をｙ軸の周りに１回転した体積

になります。

積分区間は　0　→　6

ですね。

だから、求める体積は

∫[0　→　6]πx^2dy

=∫[0　→　6]π{12^2-(y-12)^2}dy

=π∫[0 → 6](144-y^2+24y-144)dy

=π∫[0 → 6](-y^2+24y)dy

=π[-(1/3)y^3+12y^2][0 → 6]

=π[{-(1/3)(-6)^3+12×6^2}-0]

=π(-72+432)

=360π (cm^3)

円の中心を、どこにとっても同じ結果が得られます。

自分が、

式が作りやすい・計算しやすい・考えやすい　等

を考えて、問題を解いて下さい。

補足

原点を中心にすれば

ここでいう原点とはどこでしょうか？

このとき、半球を30°傾けたとき（下の図）の水面が
この場合、
直線 y=-6

ここも少しわからないです。
とんちんかんなこと言ってますがよろしくお願いします。

回答No.4

noname#223095

回答者No.2です．

先程，「y軸の周りの回転・・・」の誤り・・・と言って訂正しましたが，最初から間違ってはいませんでしたね．歳のせいでボケが始まっているもんで，最近こういうことが頻発しています．失礼しました．

お礼

y軸の周りであってましたね<m(_　_)m>
何度もありがとうございます。

回答No.3

noname#223095

回答者 No.2です．

先程の回答の中で，「x軸の周りに回転・・・」と申しましたが，「y軸の周りの回転・・・」の誤りです．お詫びして訂正させて頂きます．

失礼致しました．

回答No.2

noname#223095

xy平面上で，中心が(0, 6)，半径が12の円を考えます．これを表す方程式が

　　　　　x^2+(y-6)^2=12^2

これのx軸より下側にある弓型状の部分をy軸の周りに回転してできる立体の体積が，容器に残っている水の体積に等しいと考えている訳です．従って，12^2=144に注意すると，

　　　　　x^2=144‐(y-6)^2より πx^2 = π{144‐(y-6)^2}

この右辺の関数を‐6≦y≦0の範囲で積分すれば残っている水の体積が求められます．

参考になりましたら．

補足

回答ありがとうございます。

＞xy平面上で，中心が(0, 6)，半径が12の円を考えます。

ここで半径が12ということは分かるのですが中心が(0, 6)というのはどうやって判断しているのでしょうか？

回答No.1

bunjii

欠球の体積を求めれば良いことになります。
http://ebw.eng-book.com/heishin/ThreeDimensionVSFG_spherical_segment_calculation.do?category=spherical_segment
上記URLで添付画像の式が載っていますので確かめてください。
提示の図形からh=6cmになると思います。

補足

回答ありがとうございます
h=6cmになるところが少しわからないです