3度の和音、4度・5度の和音と言うのは、2つの音の協和のお話でしょうか？ 以下、そういうものと仮定して話をすすめます。
結論から言えば、ルートに対して3度の音が調性の決定に重要な役割を果たしているからだと思います。
ものすごく単純化してわかりやすくいいますと、例えば、
ルート「ド」に対して、3度の「ミ」がナチュラルかフラットかによって、ハ長調なのかハ単調なのか、その時点で絞り込まれることになりますから。
あとはその音楽のジャンルや曲調によって、コードのどの音を省略するとかそういう話になるのではないでしょうか。
例えばポップミュージックなら、特にギターの音をひずませて使っているような場合は、3度の特に低音の協和はあまり美しくないとされていますから、いわゆる5度コードを使うケースが多々ありますよね。この場合、調性の決定はギター以外の楽器なりヴォーカルなりが担うことになります。あえて調性をわざとわかりにくくする場合もありますね。
ジャズの場合には、ベースがルートと5度を基本にランニングしますから、ギターは3度とそれ以外にテンションである7度とか9度とかを弾く事が求めれたりとかするわけです。
クラシックは作曲家により、あまりにも場合場合の使い分けが多いので一概に言えません。いわゆるバロックでは3度でぶつかる音は調性の決定に重要な役割を果たしています。近代では、たとえばバルトークなんかは4度、5度でがんがんぶつけてますよね。
3度に関しては、純正律が理想なのでしょうけれど、平均律に慣らされてしまっている自分が少し悲しいです。
質問の主旨と回答がずれていましたらすみません。
