常微分方程式。式の簡単な（？）導出がわかりません。

質問

以下の式がなぜそのようになるのかわかりません。簡単で、当たり前らしいのですが・・・。

{An(t)}'=-αnAn(t) ( n=1,2,… )　左辺：一階微分
⇔
An(t)=An(0)exp(-αt)
nがAの横にある場合はAの添え字を示しています。

ちなみに、最初の式の左辺が二階微分の場合は、An(t)はどのようにあらわされるのでしょうか？

回答No.1

physicsache · ベストアンサー

一階は簡単だから、もう書いておきます。

dAn(t)/dt=-αAn(t)

dAn(t)/An(t)=-αdt

lnAn(t)=-α∫dt=-αt + C

An(t)=exp(-αt+C)=exp(C)*exp(-αt)

An(0)=exp(C)

∴An(t)=An(0)exp(-αt)

二階微分の時は、An(t)=exp(λt)とでも置いて計算してみましょう。

お礼

有難う御座います。大変助かりました。

回答No.2

graduate_student

>ちなみに、最初の式の左辺が二階微分の場合は、An(t)はどのようにあらわされるのでしょうか？

三角関数を用いて表すことができます.