これは何の分野？

質問

親戚の子供が漫画かなにかで見たらしいのですが，
以下の文章は数学的に正しいのでしょうか？
H^s_{10c}(X)，C^k(X)，L'(IR)
などはいったいなんなのでしょう？

(1)
X⊂R^n 開集合, k∈N
s>k+n/2 ⇒ H^s_{10c}(X) ⊂ C^k(X)
を示せ．

(2)
　F(x) = 1 (|x|<1)
　F(x) = 0 (|x|>1)
のとき
　F'(x)∈L'(IR)
を求めよ．

回答No.2

adinat · ベストアンサー

ソボレフ空間の話が載っている参考書は大量にありますが、僕が勉強したのは培風館から出ている、『フーリエ解析と関数解析学』（新井仁之）という本です。数学レクチャーノートというシリーズから出ています。シュワルツの超関数論、ウェーブレットの基礎、最後はシュレディンガー方程式の話が載っています。関数解析の少し詳しい本なら大抵ソボレフ空間の話が載っています（たとえば岩波基礎数学から出ている『関数解析』）。あるいは偏微分方程式論の教科書にも大抵載っています。

(1)はやはり僕には分からないのですが、なんとなくソボレフの埋蔵定理をにおわします。

ところで(2)の先の僕の回答ですが、δ(-1)-δ(1)の間違いでした。ごめんなさい。

あとS'(R)というのはR上の緩増加超関数と呼ばれる超関数のクラスです。気分的には高々多項式増大程度の超関数といってよいでしょう。D'(R)は一般の超関数と呼ばれるクラス、E'(R)は台がコンパクトな超関数と呼ばれるクラスで、値を有界な部分集合にしかもっていないクラスです。いろいろ（シュワルツの）超関数の定義にも流儀があったりするんですが、個人的にはS'(R)が好きですね。なんといってもフーリエ変換で閉じているところが便利なのです。ディラックのδ関数ですが、δ(x)はx1点でのみ値を持つ超関数とよく言われます。したがってこれは台がコンパクトな超関数であり、E'(R)に入るのです。当然
E'(R)⊂S'(R)⊂D'(R)
ですので、δ関数は緩増加超関数でもあるし、一般の超関数でもあります。ちなみに通常の関数の例ですが、指数関数e^xはS'(R)には入りません。しかしD'(R)には入ります。D'(R)はほとんどの通常の関数も含むいわば関数の拡張（超関数）というわけです。ただし関数ではあるが、超関数ではないものもたくさんありますので（積分できないような関数）、単純に関数の一般化と呼ぶにはいくぶん語弊もありますが。

お礼

ありがとうございます．大変参考になりました．

数学からのアプローチで超関数を一度勉強してみます．

回答No.1

adinat

面白いですねえ。たぶんちゃんとした回答はどなたかがしてくださると思うのですが、僕には出鱈目であるように思えます。間違いなく解析（超関数論）のネタだとは思いますが。

H^s_{10c}(X)はおそらくソボレフ空間を指すと思われますが、下付添え字の10cというのが僕には意味不明です。C^k(X)はX上のk階連続的微分可能な関数のクラスで、これはよく使われる記号です。

(2)はディラックのデルタを用いてδ(1)+δ(-1)が解ですが、これがL'(IR)というクラスに入るのか僕にはわかりません。通常はこれはS'(R)あるいはD'(R)あるいはE'(R)とかかれるのが自然だと思います。いずれも超関数のクラスです。ほんとはスクリプト文字を使います。L'(IR)という記号はみたことがありません。

お礼

お付き合い下さいましてありがとうございます．

> H^s_{10c}(X)はおそらくソボレフ空間を指すと思われますが、
ソボレフ空間の話がのっている
よい教科書がありましたら教えていただけませんか．
これを機に少し勉強してみようと思います．

> (2)はディラックのデルタを用いてδ(1)+δ(-1)が解ですが
物理で使っていたものですね．

> 通常はこれはS'(R)あるいはD'(R)あるいはE'(R)とかかれるのが自然だと思います。
S'(R),D'(R),E'(R) というのはそれぞれどういったものを表しているのでしょうか？
よろしければ教えてください．

> ほんとはスクリプト文字を使います。
たしかに，L'(IR) というのもスクリプト文字になってました．

またまた質問をぶつけてしまってすみません．