２重積分の発散のオーダーの問題です

質問

S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy, ただし
h(x,y)=x^3y^3/{f(x)f(y)}[1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2]{1/E(x)+1/E(y)}1/{H(x,y)}^2,
f(x)=√(x^2+c^2) , E(x)=x^2/(2m)+f(x), c>0, m>0, H(x,y)=(x-y)^2/(2m)+f(x)+f(y).
ここで、n→∞としたときのS_nのがnのどのようなオーダーで発散するのかを解説してください。よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

c>0
m>0
f(x)=√(x^2+c^2)
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
H(x,y)={(x-y)^2/(2m)}+f(x)+f(y)
h(x,y)=[x^3y^3/{f(x)f(y)}][1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2]{1/E(x)+1/E(y)}1/{H(x,y)}^2
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy

h1(x,y)=x^3y^3/[f(y)f(x){E(x)}^3{H(x,y)}^2]
h2(x,y)=x^3y^3/[f(y){E(y)}f(x){E(x)}^2{H(x,y)}^2]
S1_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h1(x,y)dydx
S2_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h2(x,y)dydx
とすると

h(x,y)
=[x^3y^3/{f(x)f(y)}][1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2]{1/E(x)+1/E(y)}1/{H(x,y)}^2
=
+[x^3y^3/[f(y)f(x){E(x)}^3{H(x,y)}^2]
+[x^3y^3/[f(y){E(y)}f(x){E(x)}^2{H(x,y)}^2]
+[x^3y^3/{f(x){E(x)}f(y){E(y)}^2{H(x,y)}^2]
+[x^3y^3/{f(x)f(y){E(y)}^3{H(x,y)}^2]
=
h1(x,y)+h2(x,y)+h1(y,x)+h2(y,x)
だから
S_n=2S1_n+2S2_n

f(x)>0
E(x)>0
H(x,y)>0
h(x,y)>0
だから
S_nは単調増加数列

b=|a|+1
B1=(b^4-a^4)/(4c^3)+64m^2/b
B2=(b^4-a^4)/(4c^4)+2m/b
K1=(2b+B1)b^3/c^4+8m^3(3b+B1)/b^3/3
K2=(B2)b^3/c^2+4m^2(B2)/b
K=2K1+2K2
とする
f(y)>c
1/f(y)<1/c
H(x,y)>c
1/{H(x,y)}^2<1/c^2
E(y)>c
1/E(y)<1/c
だから
∫_{a→b}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
<∫_{a→b}(y^3)dy/c^3
=(b^4-a^4)/(4c^3)……………(1)

∫_{a→b}y^3/[f(y){E(y)}{H(x,y)}^2]dy
<∫_{a→b}(y^3)dy/c^4
=(b^4-a^4)/(4c^4)……………(2)

b<yの時
f(y)>y
1/f(y)<1/y
H(x,y)>y
1/{H(x,y)}^2<1/y^2
E(y)>y^2/(2m)
1/E(y)<2m/y^2
だから
∫_{b→n}y^3/[f(y){E(y)}{H(x,y)}^2]dy
<2m∫_{b→n}(1/y^2)dy
=2m[-1/y]_{b→n}
=2m(1/b-1/n)
<2m/b……………(3)

X=2|x|+bとすると
∫_{b→X}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
<∫_{b→X}dy
=X-b
=2|x|……………(4)

y>Xの時
1/f(y)<1/y
y>X>2x
y-x>y/2
H(x,y)≧(x-y)^2/(2m)>y^2/(8m)
1/{H(x,y)}^2<64m^2/y^4
だから
∫_{X→n}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
≦64m^2∫_{X→n}(1/y^2)dy
=64m^2[-1/y]_{X→n}
=64m^2{1/X-1/n}
<64m^2/b
これと(1),(4)から
∫_{a→n}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
=∫_{a→b}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
+∫_{b→X}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
+∫_{X→n}y^3/[f(y){H(x,y)}^2]dy
<B1+2|x|

S1_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h1(x,y)dydx
=∫_{a→n}∫_{a→n}x^3y^3/[f(y)f(x){E(x)}^3{H(x,y)}^2]dydx
≦∫_{a→n}{2|x|+B1}(x^3)/[f(x){E(x)}^3]dx……………(5)

(2),(3)から
∫_{a→n}y^3/[f(y){E(y)}{H(x,y)}^2]dy
=
∫_{a→b}y^3/[f(y){E(y)}{H(x,y)}^2]dy
+∫_{b→n}y^3/[f(y){E(y)}{H(x,y)}^2]dy
<B2

S2_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h2(x,y)dydx
=B2∫_{a→n}∫_{a→n}x^3/[f(x){E(x)}^2]dydx
≦B2∫_{a→n}(x^3)/[f(x){E(x)}^2]dx……………(6)

f(x)>c
1/f(x)<1/c
E(x)>c
1/E(x)<1/c
だから
∫_{a→b}{2|x|+B1}(x^3)/[f(x){E(x)}^3]dx
<(2b+B1)(b-a)b^3/c^4
<(2b+B1)b^3/c^4……………(7)

B2∫_{a→b}(x^3)/[f(x){E(x)}^2]dx
<B2(b-a)b^3/c^3
<(B2)b^3/c^2……………(8)

x>bの時
f(x)>x
1/f(x)<1/x
E(x)>x^2/(2m)
1/E(x)<2m/x^2
だから
∫_{b→n}{2|x|+B1}(x^3)/[f(x){E(x)}^3]dx
<8m^3∫_{b→n}{(2/x^3)+(B1/x^4)}dx
=8m^3[-1/x^2-B1/x^3/3]_{b→n}
=8m^3[1/b^2+B1/b^3/3-1/n^2-B1/n^3/3]……………(9)

B2∫_{b→n}(x^3)/[f(x){E(x)}^2]dx
<4m^2(B2)∫_{b→n}(1/x^2)dx
=4m^2(B2)[-1/x]_{b→n}
=4m^2(B2)[1/b-1/n]
=4m^2(B2)/b……………(a)

(5),(7),(9)から
S1_n
<(2b+B)b^3/c^4+8m^3[1/b^2+B/b^3/3-1/n^2-B/n^3/3]
<(2b+B)b^3/c^4+8m^3[1/b^2+B/b^3/3]
=(2b+B)b^3/c^4+8m^3(3b+B)/b^3/3
=K1

(6),(8),(a)から
S2_n
<(B2)b^3/c^2+4m^2(B2)/b
=K2

S_n=2S1_n+2S2_n<2K1+2K2=K
∴
S_nは有界単調増加数列だから収束する

お礼

ご回答ありがとうございました。
ほとんど理解できたのですが、なぜ
y-x>y/2
が成り立つのかだけがわかりません。
この式が成り立つ理由を説明していただけないでしょうか？

回答No.2

jcpmutura

Y=2|y|+|a|+1とすると
x>Yの時
x>Y>2|y|≧2y
x>2y
↓両辺を2で割ると
x/2>y
↓両辺に(x/2)-yを加えると
(x/2)+(x/2)-y>(x/2)-y+y
↓
x-y>x/2

お礼

大変良くわかりました。ありがとうございました。