極値の問題

質問

P=(1/tanθ)・{sin(θ-φ'c)}/{cos(θ-φ'c-δ)}と置き、t=sinθと置く。
Pが極値を取るとき、tの値はいくつか。

・・・・という問題です。

全て三角関数を全て展開して計算すればできないことはないのですが、もう少し楽な解き方があるのではないかと思い質問させていただきました

回答No.2

denebola

要は、P=sin(θ-α)/[tanθ・cos(θ-β)]
　α=φ'c, β=φ'c-δ
という式の極地を変数t=sinθで探せばいいんですよね。
それでしたら、両辺をθで微分すればいいと思います。
左辺を微分すると
　dP/dθ=dP/dt・dt/dθ=dP/dt・cosθ
右辺を微分して分母だけに着目すると
　dP/dθ=[・・・]/[tanθ・cos(θ-β)]^2
従って
　dP/dt=cosθ・[tanθ・cos(θ-β)]^2/[・・・]
となります。極地ではdP/dt=0ですので、
　cosθ・tanθ・cos(θ-β)=0
　θ=π/2, 3π/2, 0, π, β±π/2
よって、t=sinθに代入して
　t=0, ±1, sin(φ'c-δ±π/2)
上記のうち、Pが無限大とならないtが解だと思います（例えばφ'c≠0, φ'c-δ≠0のとき、t=0, ±1でPは無限大になります）。
・・・一応、途中計算はご確認下さい。

補足

問題によると

このtはtanφ'cとtanδを使って書けるそうです。

>dP/dθ=dP/dt・dt/dθ=dP/dt・cosθ
>dP/dθ=[・・・]/[tanθ・cos(θ-β)]^2
>従って
>dP/dt=cosθ・[tanθ・cos(θ-β)]^2/[・・・]

・・・の変形が良く分からないのですが・・・

回答No.1

mcq

Pをθについて微分すれば
dP/dθ=(1/cosθ)^2・{cos(θ-φ'c)}/{-sin(θ-φ'c-δ)}
となるので、dP/dθ=0として解けば良いのではないでしょうか？