多項式

質問

入試問題ででてきたのですが、学校の宿題で答案がなしという状態なのでみなさん助けてください！＿　＿

ｎは自然数で、ｎの約数を小さいほうから順に1から並べると6番目が8で、8番目が14になるという。このようなｎのうちで最小の物を求めよ。

詳しい解説お願いします！！！＿　＿

回答No.2

liar_adan · ベストアンサー

これこれ。宿題を人に頼んではいけませんよ。
でも問題がおもしろいから答えてしまいます。

「約数」と「素因数分解」に密接な関係があるのは知っていますね。
たとえば、72は2×2×2×3×3と表されます。
この場合、「2を3回以下、3を2回以下かけた数」はすべて
72の約数になります。
たとえば2×3×3とか、2×2×2とか。
それから、1も約数になります。

もうひとつ、「約数の約数」も約数になります。
たとえば、4は72の約数ですが、
4の約数の2や1は、自動的に72の約数となります。

ここで、8までの数を見てみましょう。
8が約数であることから、その約数である
1、2、4ももとの数の約数になります。
また14が約数であることから、その約数の7も約数になります。

１２３４５６７８
○○　○　　○○
(↑ずれて見えるかもしれないけれど数字のところに○があると思ってください)

で、ここまでで約数は5個。このあいだにもうひとつ約数が必要です。
ではそれは何か。

仮に「3」と考えてみます。
しかし、もとの数は「2」を約数に持っています。
そうすると2×3＝6も、もとの数の約数になってしまいます。
このときは8が7番目の約数になってしまうからダメ。

同様に、「6」を持ってきたときも、「3」が約数になってしまうからダメ。

残るは「5」しかありません。
つまり、

１２３４５６７８
○○　○○　○○

こうなり、もとの数は5を素因数に持つとわかります。

14まで考えてみます。5と2を素因数に持つことから、
10ももとの数の約数に含まれます。
(上記のように数字を並べて○を書いてみてください)
そうすると、それだけで14まで8個の約数になります。

そうしてもとの数を考えてみます。
素因数ごとに考えます。
まず、8が約数であることから、8＝2×2×2の倍数になる。
同様に、5の倍数になる。
同様に、7の倍数になる。
まとめてみると、2×2×2×5×7の倍数になる、ことがわかります。
そして、それが条件を満たす最小の数となりそうです。

実際に計算して、そうなるかたしかめてください。

お礼

詳しい説明ありがとうございます！！

回答No.5

ultra-daddy

＞＃４
恐れ入りました。その通りです。

＞third-1
ということで、同じ間違えをしないように
気をつけて下さい。

お礼

はい気をつけますー！
どうもありがとうございます、間違いがわかってよかったです。

回答No.4

pyon1956

No3の推論には穴があります。3と8の両方が約数ならば、6や12も約数になるはずです。いずれも12より小さいのでこれを含まないのはまずいです。
ゆえに、3ではなく5が約数に含まれることになるわけです。
そういうわけで、No.1とNo.2が正解です。

お礼

ご指摘どうもありがとうございます！

回答No.3

ultra-daddy

なにやら、ほかの人と回答が違うので・・・
ちょっと自信がないのですが
人の回答を吟味するのも勉強になるかと・・・（自己弁護）

まず、約数を並べてみましょう。
問題の通り小さい順に並べてみました。

一、二、三、四、五、六、七、八
１、■、■、■、■、８、■、14

問題の通り並べると上のようになりますよね

次に、14に注目します。
14＝２×７ですから、■がいくつか埋まって、

一、二、三、四、五、六、七、八
１、２、■、■、７、８、■、14

となります。
次に、#2のおっしゃるように約数の約数は約数ですから
素数ではない８に注目します。
８の約数は

１，２，４，８

です。いま、八個の約数の中に４が入っていません
だから、■に４を入れるのですが、
ここがポイントです。
求める答えは『最小』なものですから
最後にかけ算をするときになるべく大きな数字を使いたくないとすると
４は(4)へ入るはずです。
すると

一、二、三、四、五、六、七、八
１、２、■、４、７、８、■、14

となると思います。（ここが#2の人と違う）

こうなると必然的に(3)には３が入るので

一、二、三、四、五、六、七、八
１、２、３、４、７、８、■、14

になります。
あとひとつ■が残りました。
これも『最小』のものを作ろうとするので

一、二、三、四、五、六、七、八
１、２、３、４、７、８、９、14

となると思います。

あとは、これの最小公倍数を求めればよいことになります。
そうすると504になると思うのですが・・・

#1とは答えが違うんですが・・・
参考意見だと思って、吟味してみて下さい。

色々工夫したのですが、どうも約数を並べるときに
上の行の通し番号（漢字）と列がずれてしまうようです
見にくくてごめんなさい

回答No.1

hinebot

>6番目が8で、8番目が14

ということは、8も14もｎの約数ということ。
よって、8と14の最小公倍数を求めれば、ｎはその倍数になる。
あとは、条件に合うものを探すだけ。

【別の考え方】
8の約数もｎの約数、14の約数もnの約数であることに注意する。
8=2^3（２の３乗）、14=2×7
ということはｎの約数を小さい方から並べると…

あとは自分で考えてみてください。
答えは　「280」だと思います。

お礼

最小公倍数ですか！ありがとうございます！