連星・二体問題の式を教えて下さい

質問

連星の軌道を求める式を探しています。
相対的な動きの式（主星を固定して伴星のみが動く式）は見つかったのですが、主星と伴星の両方が動く連星の軌道を求める式がどうしても見つかりません。
もしよろしければ、どうか教えて頂けませんでしょうか？

回答No.1

abyssinian · ベストアンサー

>主星を固定して伴星のみが動く式）は見つかったのですが、主星と伴星の両方が動く連星の軌道を求める式がどうしても見つかりません。

　昨日同じような質問がありました。片方だけが動く式を、ベクトル形式で答えました。

>ｒ、位置ベクトル
>V=dr/dt、速度ベクトル
>L=r×mV、角運動量ベクトル（時間不変）
>k、重力定数Gと中心星質量Mの積
>e、２次曲線の離心率
>
>出発式は重力場のニュートンの運動方程式
>(1)　mdV/dt＋kr/|ｒ|^3=0
>Lと(1)を外積する。
>(2)　L×dV/dt＋(k/m)/|r|^3（L×r)=0
>下式を導入し、そのde/dtが上式です。
>(3)　e=L×mV＋mrk/|r|=定数（離心率ベクトル）
>eとrを内積する。
>　e・r=－(L×mV・r)/mk－|r|=-|L|^2/mk－|r|
>またeとrの内積は|e||r|cosθでもあるから
>(4)　r(θ)=|L|^2/(mk(1+|e|cosθ))
>が得られる。楕円はe<1。

　重い方の星Mの運動も全く同じで
(5)　r'(θ)=|L|^2/(Mk(1+|e|cosθ))
Mが極めて大きいとしてr'≒0とされているのが、２体問題においては、この近似を行わない。
(4)と(5)は相手が座標原点になっているから、それが共通重心の座標に変わるだけでしょう。共通重心における位置ベクトルを、mはr1、Mをr2とすれば、重心の式はmr1+Mr2=0。したがって、
　r1(θ)=ｒM/(m+M)
　r2(θ)=r'm/(m+M)
重心の式からr1とr2は符合が反対であるから、180度を加える。

お礼

非常に参考になりました。ありがとうございました。

回答No.3

abyssinian

>
　連星の軌道は、共通重心を座標原点にした、重心座標系が、使われています。なぜなら、他の恒星が非常に遠くて、事実上の孤立系だからです。実験室系は、荷電粒子のラザフォード散乱などを、2体問題近似する際に使われます。

回答No.2

sakura_214

２体問題では，もちろんそのまま２体の位置r1↑，r2↑を扱ってもいいのですが，通常は２体の重心運動R↑
R↑=(m1*r1↑+m2*r2↑)/(m1+m2) ---(1)
と，２体の相対運動r↑
r↑=r2↑-r1↑ ---(2)
に分離して，換算質量μ=m1*m2/(m1+m2)を導入することで，重心（ここには何もない！）を原点（すなわちR↑=0）とし，r↑の位置に質量μがある１体問題に帰着させて解いていきます．

よって，ここで導かれるr↑は質問者が指摘するように重心系における２体の相対運動です．これを私たちのいる（実験室）系における個々の運動r1↑，r2↑に戻すには，単純に(1)と(2)を連立方程式を解くことで
r1↑=R↑-(m2/(m1+m2))r↑
r2↑=R↑+(m1/(m1+m2))r↑
として求めることができます．

お礼

非常に参考になりました。ありがとうございました。