二つの式の比較

質問

以下の二つを比較して下の四つの選択肢から該当するものを選べ
式A
3/2 p + q = 3
式B
2/3 q + p = 2

(A) 式Aの方が大きい
(B) 式Bの方が大きい
(C) 両方等しい
(D) それらの情報だけでは決められない

正解は(D)。
実は二つの式は等しい（確認するには二つ目の式の各項に3/2をかけてみるとよい）。
一つの一次式に二つの変数が与えられた場合、相対的なpとqの値を求めることは不可能である。

という問題なんですけど、これは、たとえ二つの式が等しくてもpとqの値は定まらないので
結局「一つの一次式に二つの変数」という問題が出た時点で(D)って決め付けちゃっていいんですか？言い換えると
　αp + q = β　　　　　　　p + γq = τ
のどちらが大きいかという問題が出た時点でα、β、γ、τの数字が（α≠0、γ≠0であれば）何であろうとも
　　　　　(D) それらの情報だけでは決められない
を即座に選んでもよいか、ということです。
例外はありますか？

回答No.8

ichiro-hot · ベストアンサー

●私なら、次のように補って考えます。
(A) the quantity in Column A is greater;
= the quantity in Column A is greater（　than the quantity in Column B.　）
(B) the quantity in Column B is greater;
= the quantity in Column B is greater（　than the quantity in Column A.　）
※　比較級の省略はやはり『同じようなこと』の省略でしょう。
　 『the quantity』と単数形になっていますから、『1つの』量を比較していることは確かです。
　p in Column A と p in Column B か， q in Column A　と　q in Column B　かのいずれかでしょう。３と２を比較するのであれば違う表現になると思いますが・・・
　3=ｔｈｅ quantity in Column A , 2=the quantity in Column B というのは変な気がします。自分の語感では『quａntity』=『変数のとる値』というイメージで，数値はvalueぐらいを使うのでは？という感じでしょうか。
　複数形になっていないのは、 『AのｐとBのｐ』，『AのｑとBのｑ』を『それぞれに比較』して，『ｐが大きければ、ｑも同じように大きい』，『ｐが小さければ、ｑも同じように小さい』、双方とも同じように振舞うという『暗黙の主張』が有るように受け取れます。
(C) the quaｎtities are equal;
= （Both of） the quantities（ p,q in Columns A,B） are equal.
※上で1つの量の比較を『the quantity』と表現しています。上でβとτを比較しており、ここでもそうだったらthe　quantitｙ　ｉｓ　equalでも良いでしょう。（A)、（B)同様単数で『 the quantity』でよいはずです。
　ここでなぜ『the qunatities』と言わなければならないのでしょうか？
　『二つの関係』が有って、それが同時に等しくなることが自明であるからそのように表現しなければならなくなったのだと考えますが・・・　
(D) the relationship between the two quantities cannot be determined from the information in the problem.
※ここでも『the two quantities 』ですね。
　よくよく読んでみると、（D）の解答、説明文ともに、『（A）と（B)は等価である』と言ってますが、『AとBを連立させて解けない』といっているのではないのだとわかります。その点は訂正させていただきたいと思います。
　『二つの変数を持つ線型方程式は1つの方程式からでは解が得られない』といってるだけですね。（A）からｐ，ｑを求めるためにはもう1つの方程式，つまりここにももう1つ式が必要＝『（Ａ）に二つの式が必要』，（B)を解くためにももう1つの方程式が必要＝『Ｂにも二つの式が必要』という意味も含まれていると思います。
　これは数学でなく『語学分野』のほうが適切ではないでしょうか？英語論文の添削が帰ってきたような気分です・・・Ｎａｔｉｖｅでないとうまく説明できないのかも？きっと前置詞や名詞の使い方という『微妙な語感のちがい』の問題なのでしょう。

回答No.10

okormazd

#1,2です。
SATやGREのQuantitative Comparisonが同じような問題なので、その解説かなんかと思うが、SATやGREではこの質問のような不備な問題は無いんじゃないか。何か条件があるとか。
たとえば、p,qの条件を与えて、3/2 p + qと 2/3 q + pを比較するとかになっているんじゃないか。

お礼

皆さん、ありがとうございます。超長期化していますが。(^^ゞ
熱のこもった議論は誠に有難いのですが、質問の意図とはかなりズレてしまっているんですよね。（笑）
この問題は一般化が可能か、という点について議論していただきたいのですが。つまり、

> 結局「一つの一次式に二つの変数」という問題が出た時点で(D)って決め付けちゃっていいんですか？

という質問にまずYESかNOかで答えて、それに理由付けをしてくださいませんか？
次の回答はYESかNOで始まる文章でお願いします。

補足

結論としては
「一つの一次式に二つの変数では答えが定まらない」が正解でした。

あれだけしつこく説明したのに論点がズレまくりでしたね…。
正直、あまり本意ではないのですが、
時間を割いてくださったということでポイント差し上げます。

回答No.9

arrysthmia

文法上の無理が、少なくとも三ヶ所は…。

回答No.7

arrysthmia

(A) the quantity in Column A is greater;

を和訳してみましょう。何が、何に対して greater である
という選択肢でしょうか。 文が文として意味を成しますか？

回答No.6

ichiro-hot

●　やっと、下に英文が追加されていることに気づきました。
ならば、簡単に思いました。和訳。
This question involves two quantities: one in ColumnA and one in Column B.
この問いは，ひとつはＡ行，ひとつはＢ行にある，二つの量についての問いである。
You are to compare the two quantities and choose whether
二つの量を比較し、以下から選べ。

『Ａ行とＢ行を比較せよ』と言っているのではありません。
in ColumnA ，in Column Ｂ　の　『in』の解釈ミスでしょう。
two quantities　は　『A、Bの各行において（in；『～にある』『における』ぐらいに訳すべきでしょう。）導かれる量』ですから、これはｐ、ｑのことです。
『Ａ行にある関係で求められる二つの量ｐ、ｑとＢ行で決められる二つの量ｐ、ｑを比較し、以下の問いに答えよ。』と訳すのが正しいと思います。

『二つの式は単に3/２倍したものであり、同値であるから、二つの変数ｐ、ｑを決めことはできない。従って答えは（D)である』
要するに、二つの変数p、ｑを決めるためには、互いに独立な二つの式がひつようであり、いまは同値な式しか与えられていないので、解が得られないといっていることになりますね。
他の回答者へのコメントを読み落としてしまい、とんだ回り道でした。すみません。
やはり回答は（D)でよいと思います。

回答No.5

arrysthmia

単に英語の問題ですね。

最初、質問文を見て、問題自体が随分混乱していると感じたのですが、
混乱していたのは、元の問題ではなく、質問氏の和訳だったのですね。
No.2 補足にある原文を見れば、正解は、(A) 以外ありえません。

問題に「You are to compare the two quantities」とありますが、
この「the two quantities」が、「The correct answer is (D). 」以下
の文章にあるように p と q を指すのだとすれば、選択肢 (A) や (B) が
文章として意味を成しません。実際、その解釈では、(A) の文は、
何が何に比べて「greater」だと言っているのでしょうか？

問題文を、意味が通るように解釈すれば、
the quantity in Column A = 3/2 p + q = 3,
the quantity in Column B = 2/3 q + p = 2 であって、
その上で、「You are to compare the two quantities」ということです。
3 と 2 のどちらが大きいかは、難しい問題ではないと思います。

「The two equations are actually the same. 」であることは、
「the quantity in Column A」と「the quantity in Column B 」を比較
する際に、あまり関係がありません。

(D) は、誤答です。

回答No.4

ichiro-hot

●たとえ数学的な事実と整合性を取れていなくても、
　αp + q = β　　　　　　　p + γq = τ
　で、
　『β＞τのとき、式（１）は式（２）より大きいという』
などの仮定があれば別ですよね。
　だから、そのような仮定が必要である＝
　　　　　(D) それらの情報だけでは決められない
をとります。

●　『数学者』ではないので・・・、自分なら次のように反応するでしょう。
　『どちらが大きいか』・・・なんじゃこりゃ？
　『β＞τのとき、式（１）は式（２）より大きいという』みたいな命題が有ったか無かったかどうか自問自答しますね。この場合には明らかに『無い』と判断します。
　※不安材料はこれだけですね・・・じぶんがこういう定理や決まりを知らなかった・・・

　自信が持てたらこれは問題ミスじゃないかと疑りますね。
　（D）が無ければ、出題者側に異議申し立てですね。

回答No.3

ichiro-hot

●「式が大きい」・「式が小さい」という定義は今までに聞いたことが無い。常識的なレベルでそのような定義は無いだろう。「式の大小」が未定義である。

●（１），（２）で「大きい」「小さい」という表現が有るために、「等しい」という表現も、通常この言葉から考える推移律での命題の「同値」あるいは「等価」という言葉の意味としては捉えられない。やはり（３）は「大小関係」での「等しい」ということを聞かれていることになるだろう。であればやはり『等しい』ということについても未定義である。

●『「式の大小関係」が未定義である』ために「大」・「小」・「等しい」ということについては何もいえない＝『(D) それらの情報だけでは決められない』 ということではないだろうか？

補足

下の補足をご覧になってどう思われますか？

どうか質問の意図を汲んでください。
ここでは誰も問題の厳密性を問うてはいないのです。
この問題はまるで
たとえ、それらが等しい・等価・同値…もう、なんでもいいです、好きなようにお呼びください…としても
(D)が正解である、と言っているようなんです。
では、これと似た問題が出たら、その瞬間に数字も読まずに
(D)と回答してもいいんですか、というのが質問の意図です。
ここからは数学者の仕事だと思います。
宜しくお願いします。

回答No.2

okormazd

>グラフ上では同じになってしまうわけです。
それが等価ということでしょう。
>xとyが決まらないことにはどちらとも決まらない
すみません。
何がどちらとも決まらないんでしょうか。何を決めたいのか理解できませんが。等価か等価ではないかということであれば、これだけでは一意に決まるものではないでしょう。

補足

では、原文を載せておきます:

This question involves two quantities: one in ColumnA and one in Column B.
You are to compare the two quantities and choose whether

(A) the quantity in Column A is greater;
(B) the quantity in Column B is greater;
(C) the qunatities are equal;
(D) the relationship between the two quantities cannot be determined from the information in the problem.

Column A: 3/2 p + q = 3
Column B: 2/3 q + p = 2

The correct answer is (D).
The two equations are actually the same.
(One way to confirm this is to multiply each term in the second equation by 3/2.)
Given one linear equation in two variables, it is impossible to determine the relative values of p and q.

これは公式な試験に出る問題ですから、間違いということはまずありません。
これで文句はないはずです。
では、本題の質問の回答を宜しくお願いします。

回答No.1

okormazd

単に大小を言えば、明らかに式Aの方が大きい。式Aは3で式Bは2だよ。
>実は二つの式は等しい（確認するには二つ目の式の各項に3/2をかけてみるとよい）。
2つの式が等しいはずが無い。3と2が等しいか。B式に3/2をかけてはじめて等しくなるのだから、A式が大きいに決まっている。

この場合、式Aと式Bは等価であると言うんじゃないか。

>のどちらが大きいかという問題が出た時点で
βとτを比べればすむことだが、
何を知りたいのですか。

お礼

ありがとうございます。
では、「式Aと式Bは等価である」ということでお願いします。
ということであれば、

>βとτを比べればすむことだが

では済まないですよね？
論点がズレているようなので説明します。

一次式で変数が二つ、ということは
p + q = 1
も
2p + 2q = 2
もq=の式に直すと
q = - p + 1
ですよね？
グラフ上では同じになってしまうわけです。
この例のようにたとえβ＜τ（１＜２）でも、二つの式は等価です。
更にややこしいことに、たとえ等価であっても
xとyが決まらないことにはどちらとも決まらない、と
この問題が提唱しているんです。
これは常に真ですか、と私は質問しているのです。