窓関数の処理の仕方によるＦＦＴ結果の違いについて

質問

ある１周期分のデータX(n)={X0,X1,・・・,Xn-1}があるとき（nは2の乗数）、ハミング窓関数K=0.54-0.46cos(2πn/N-1)を以下のように処理

(1)Y(n)=K*X(n)
(2)Y(n)=K*X(n)+A
(3)Y(n)=K*{X(n)+A}

ただし、AはX(n)の平均値。
ここで、Y(n)をFFTした場合の違いについてシミュレーションしましたが、振幅スペクトルの結果が次のようになりました。

　(1)と(2)は０次のみ異なる（１次以降は同じ）
　(2)と(3)（(1)と(3)）は０次と１次が異なる（２次以降は同じ）

【質問１】
(2)と(3)の２次以降が同じになる理由はどうしてでしょうか。

回答No.1

dedenden · ベストアンサー

(3)は簡単な書換えで、以下のようにかけます。

Y(n)=K(n)*X(n)+A*K(n)

一般に、離散フーリエ変換（FFT）は線形演算です。このため、（3）のFFTの値は、（1）のFFTに、A*K(n)のFFTを加えた値になります。したがって、（1）と（3）のFFTの値の差は、K(n)のFFTに定数Aを掛けた値になるはずです。

また、ハミング窓のFFTは周波数の低域に大きなゲインを有する特性を持ちます。したがって、０次や１次の項に比較的絶対値の大きな値が入ります。しかし、２次以降の項が０になるということは一般的には成り立ちません。

以上の考察から、質問にあるように、（２）と（３）の２次以降が同じになるというのは、ややおかしいように思います。たまたま数値計算誤差などで、一致してしまっているということはないでしょうか？

参考URL：

http://www.orixrentec.co.jp/tmsite/know/know_mado.html

お礼

私も２次以降が同じになるのはおかしいのでは？とおもっていましたが、
ハミング窓関数の特性を考えれば、おっしゃる通りかも・・・と思います。
ご回答ありがとうございました。