等式を満たす値

質問

p,q,rは不等式p≦q≦rを満たす正の整数とする。

(1)1/p＋1/q=1を満たすp,qをすべて求めよ

(2)1/p＋1/q+1/r=1を満たすp,q,rをすべて求めよ

という問題です。

(1)のヒントとして分母を払って(p-1)(q-1)=1と変形するとあるのですが、どうやってこうなったのでしょうか？それともうひとつのヒントがp-1とq-1は０以上であるとあるのですが、これはなぜなのでしょうか？
また、どうやってp,qの値を出すのでしょうか？

(2)はどうすればいいのでしょうか？何かに変形するのでしょうか？

初歩的な質問かとは思いますが、回答よろしくお願いします。

回答No.2

tanomo · ベストアンサー

(1)
>どうやってこうなったのでしょうか？

両辺にpqをかけると
q+p=pq
となりますね。この式を
pq-p-q=0
と書き換えて、因数分解をします。
例えば、まず、pで括弧に括ると
p(q-1)-q=0
となります。
ここで、ちょっとトリックを使います。両辺に1を足します。
p(q-1)-q+1=1
これは
p(q-1)-(q-1)=1
と同じなので、再び因数分解（q-1で括弧に括る）をします。
(p-1)(q-1)=1
が得られます。

>p-1とq-1は０以上であるとあるのですが、これはなぜなのでしょうか？

問題文にp, qは正の整数と書いてありますから、
p>=1, q>=1
ですよね？つまり、
p-1>=0, q-1>=0
です。

>どうやってp,qの値を出すのでしょうか？

p-1、q-1が0以上の整数であるということが分かっているので、
(p-1)(q-1)=1
は
0以上の整数×0以上の整数=1
を解くことになりますね。
2つの整数をかけて1になる組み合わせは何でしょうか？
（これ以上は自分で考えましょう）

(2)
(1)の解き方がヒントになります。
(1)と同様に分母を払い（pqrをかける）、因数分解をすれば良い訳です。
（これ以上は書きませんので、頑張って下さい）

補足

詳しい回答ありがとうございます！！
(1)のほうはおかげさまで理解できました。
(2)のほうの式変形のテクニックがいまいちわかりません。もしよかったら教えてください

回答No.3

noname#24477

分母を払うのも一つの方法ではありますが
そのままやるのも一つの手です。
式で書くとここでは書きにくいので言葉で説明します。

（１）ｐ，ｑとも３以上だと足して１より小さい。
小さいほうは２。よってｐ＝２、このときｑ＝２

（２）３つとも４以上だと足して１より小さいから
１番小さい数ｐは２か３。

ｐ＝２のとき同じような考え方でｑ＝３か４。ｒは
計算してみてください。

ｐ＝３のときはｑ＝ｒ＝３しかない。
ということで答は３通り。

回答No.1

nabla

(1)
　　1/p＋1/q=1
の両辺にpqをかけてやると
　　q+p=pq
となります。
　さらにp,qを移項すると
　　pq-p-q=0
となります。
　この式の両辺に１を足すと
　　pq-p-q+1=1
となります。
　ここで右辺は因数分解できて
　　(p-1)(q-1)=1
となります。
　さて、p,qは正の整数とありますので
　　p≧1,q≧1
です。
　つまりp-1≧0,q-1≧0
です。
　また、p-1とq-1はどちらも整数です。
　そこでp-1=P,q-1=Qとおくと
　　PQ=1
です。
　PもQも０以上の整数なのでその組み合わせは
　　P=1,Q=1
以外ありえません。
　つまり
　　p-1=1,q-1=1
ですから
　　p=2,q=2
となります。

(2)
　基本は(1)と同じです。
　両辺にpqrをかけて…