図形の拡大・縮小

質問

楕円C:2x^2＋4y^2=1において

点(0,1)からCに引ける２本の接線とx>0の範囲にあるCとで囲まれる面積Sを求めよ。

という問題について、「楕円の面積は考えにくいので円に変換して考えてみる」と解答に書いてありました。円に変換後の求める部分の面積をTとおくとして質問させていただきます。

解答では円に変換するのにCをy軸方向に√2倍して、まずTを求めます。ここは簡単に求まるのですが、次に実際に求める面積Sを出す際に、元に戻すため1/√2倍します。ここで解答は終わってるのですが、あくまでも面積の変換は円→楕円→円というだけです。図を描けばすぐにわかる事ですが、求める面積は楕円（もしくは変換後の円）の外側にあります。求める面積は楕円の外側なのに、円と楕円の変換だけでそとの実際の求める面積もそれと同じ割合で面積が変化するのでしょうか？

ところである先生が「あらゆる図形（というのは実際に試験に出る限りでの図形のことかもしれませんが...？）は縦に□倍すれば面積も□倍になるし、横に□倍すれば面積も□倍になる」とおっしゃっていました。
この問題で言えば、SはTを縦方向に1/√2倍したものだから面積も1/√2と言える事になります。

こういう理由で解答はまとめていたのでしょうか？解答には先生がおっしゃっていたことなどの知識は書いてはいなかったので自信がありません。質問が長くなって申し訳ありませんが、アドバイスよろしくお願いします。

回答No.3

BLUEPIXY · ベストアンサー

＞「あらゆる図形」なのか？
単純のために
ｙ＝ｘとｘ＝ａで囲まれる三角形の面積で考えてみましょう。
この三角形の面積は、
ａ＊ａ／２
ですよね。
この時、問題の様に、ｙ軸をｎ倍まあ２倍したとしましょう。
それって、
元の座標系で言えば、
ｙ＝ｘが
ｙ＝２ｘになったということです。
さて面積を比べてみると
三角形の高さが２倍になったので、
ａ＊ａで面積は２倍になります。
結局の処、
ｙ＝ｘが直線でなく曲線であっても同じことだといえます。
要は、ｘ軸からの線分の長さが等しく２倍になるなら、
面積は２倍になるということです。
（イメージしにくければ先程の三角形をｙ方向の線分で（竹軸のようなものでできているとイメージして）ｘ軸方向をばらばら並べ変えたとして考えてみましょう。
そうするとｙ軸方向の長さはばらばらに（つまり、不定型な曲線に）なりますが、
既に知っている通り、もともとは三角形の形をしているので、面積は同じ方法で求められます。）
こういうことは、＃２の方もおっしゃっているように、積分を習うと、よくわかるようになると思います

お礼

なるほど！積分で区切る一つ一つの長方形がもとのn倍の高さになると考えれば、結局曲線だとしても同じ考えで面積はn倍になりますね！頭の使い方が固くてここまで考えられませんでした...ありがとうございます！

回答No.2

noname#8027

あなたの学年がわかりませんが、将来的に積分を用いて面
積を計算するようになれば、数学的に理屈を述べることが
出来るようになると思います。

取りあえず、解答にあたって、矛盾点は無いと思います
が、記述の仕方によっては、「論理的でない」と減点する
場合もあるでしょう。

お礼

やはり記述の仕方によっては減点もありえるのですね...難しいですね。最終的にはそこが一番肝心なので。ありがとうございます。

回答No.1

BLUEPIXY

肝心なのは、楕円を円に変換したのではなく
ｙ軸を変換した座標系に置き換えたってことです。

お礼

全くおっしゃる通りです...どうやら楕円や円に捉われすぎていたようです。
非常に的確なアドバイスを頂けて助かりました！

質問文の中の先生のおっしゃっていたことが成り立つのかも（「あらゆる図形」なのか？これは間違いないか？）はっきり聞き取れなくて曖昧でしたので、もしよろしければ是非教えて下さい。