等差数列の問題の解き方を教えてください

質問

｛2，9/4，5/2，11/4，3，.....｝の一般項Anと初項から第ｎ項までの和Snの求め方、その考え方をやさしくおしえていただけませんでしょうか？

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

等差数列は
どの2つでも、隣あった項の差(公差)が等しい数列です
そこで公差をdとおくと
d＝A₂−A₁＝(9/4)−2＝1/4
と求めることができます
差は隣あった項ならどこでも等しいので
例えば、d＝A₃−A₂などとして求める事もできます

さて、隣あった項の差が等しいということは
A₂＝A₁+dですし
A₃＝A₂+d＝(A₁+d)+d
A₄＝A₁+d+d+d
…です
ゆえに、第n項は初項A₁に、dをn−1個たして
An＝A₁+(n−1)d
＝2+(n−1)×(1/4)
＝(1/4)(n+7)
となります

次に、和ですが
まずは、単純化して
1、2、3、…、10という公差1の等差数列の和を見て行きます
このとき、1と10
2と9
3と8…
というように、左右の外側から順にペアをつくると、足し算して11のペアが5組できる事になるので
平均すると11/2という数字が10個あることになります
ゆえに求めるべき、この等差数列の和は
平均値×個数＝(11/2)×10と求められる
この11/2(平均値)は
(初項+末項)÷2とすれば求まるので
これを応用して
等差数列の和は
項数×(初項+末項)÷2となります
ゆえに
Sn＝項数×(初項+末項)÷2
＝n×(A₁+An)÷2
＝n×{2+(1/4)(n+7)}÷2
＝(1/8)n(n+15)
となります

お礼

いつもいつも、わかりやすいリアクションをありがとうございます。

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補足

＝2+(n−1)×(1/4)
＝(1/4)(n+7 2を8/4と考えるといいのでしょうか？

回答No.6

maskoto

＝2+(n−1)×(1/4)
＝(1/4)(n+7 2を8/4と考えるといいのでしょうか？

→　その通りです
2＝8/4と考えて共通因数1/4をくくり出します

回答No.5

takochann2

等差数列の和は小学校で習っています。添付のような図で習ったのではないでしょうか。例えば１，２，３，４，５，・・・１０の順に並んで10この数字の和は、逆に並んだ１０・・・３，２，１を足せばすべて１１で個数が１０となり、１１Ｘ１０で、そのその半分が求める解。よってＳｎ＝（Ａ１＋Ａｎ)xｎｘ１/2

回答No.4

maskoto

補足
等差数列の和については、次のように考えても良いです

1、2、3…10
の等差数列について
これと逆順の数列を用意して上下に並べる

1、2、3…10
10、9、8…1

上下のペアの和はそれぞれ11
ペアが10組あるので　
これら上下に並べた数字の総和は
ペアの数値×項数＝11×10＝110　
上下には、同じ数が2つづつあるから
1〜10までの和は
110÷2＝55
これを踏まえて、別の等差数列でも、逆順の数列を用意して上下に並べる
と言う事をすると
ペアの数値＝(初項+末項)
ペアが項数と同じだけあって、求めるべき等差数列の和の2倍の数値が
(初項+末項)×項数だから
Sn＝(初項+末項)×項数÷2…公式(定理)

回答No.3

alain13juillet

分母を揃えて{8/4,9/4,10/4,11/4,12/4,....}。
一般項はAn=8/4+(n-1)/4=n/4+7/4
Sn=8/4+9/4+........................+(n/4+7/4)
Sn=(n/4+7/4)+(n/4+6/4)+.........+8/4
2Sn=(n/4+7/4+8/4)+(n/4+6/4+9/4)+......(8/4+n/4+7/4)
=n(n/4+15/4)
Sn=n(n/8+15/8)

回答No.1

nihonsumire

初項2、公差1/4(1/4ずつ増えている)から、一般項An=2+(n-1)×1/4
和は(1/2)×n×(2+An)
↑ここに一般項を代入すればよい
もし、分からないところがあれば、下記のタイトルを検索かけると動画の説明が見れる。復習してみてください。
【高校数学】 数B－５７ 等差数列とその和①
【高校　数学B】　数列５　等差数列の和１