物理

質問

X軸上のX=l/2およびX=－l/2の点に、それぞれ+Qおよび－Qクーロンの電荷がある時の付近の電位を求めよ。また、rを原点からの距離とすれば、r>>lの時は、この電位はQlX/(4πεr3)となることを示せ。

回答No.6

maskoto

時間ができたので近似してみました…
与えられ条件から
L/Rは十分小さいと判断でき
R²＝x²+y²+Z²より
√{(x−L/2)²+y²+Z²}
＝√{R²+R²(L²-4Lx)/4R²}
＝R√{1+(L²-4Lx)/4R²}…①
ここで、テーラー展開してtが十分小さいなら
一次の近似として
√(1+t)≒1+(t/2)であるから
t＝(L²-4Lx)/4R²とみて
①の続き
≒R{1+(L²-4Lx)/8R²}
続いて、sが十分小さいとき
1/(1+s)≒1-sを用いて
1/{1+(L²-4Lx)/8R²}
＝1-(L²-4Lx)/8R²
以上のことから
1/√{(x−L/2)²+y²+Z²}
≒(1/R){1-(L²-4Lx)/8R²}
同様に近似すると
1/√{(x+L/2)²+y²+Z²}
≒(1/R){1-(L²+4Lx)/8R²}
ゆえに、L<<Rでは
(Q/4πε)((1/√(X－l/2)^2+Y^2+Z^2)－(1/√(X+l/2)^2+Y^2+Z^2)
＝(Q/4πε)(1/R)[{1-(L²-4Lx)/8R²}-{1-(L²+4Lx)/8R²}]
＝QLx/(4πεR³)

回答No.5

maskoto

r＝√x²+y²+Z²
ですから、これを使って式変形して
近似してください
テーラー展開はご存知ですよね…

回答No.4

maskoto

失礼しました
早とちりして、数直線上のみで考えるのだと勘違いしました
P(x、y、Z)として
点Pと点(L/2、0、0)の距離を計算すると
d＝√{(x−L/2)²+y²+Z²}であり
プラスQによるPの電位は
Ｖ₁＝Q/(4πεd)です
同様に距離を計算して
−QによるPの電位を求めて
足し算すると模範解答を得ます

補足

すいません。r >> lの場合、電位はQlX/(4πεr^3)となるところがどういう計算をすればいいか分かりません。

回答No.3

maskoto

１つ目は
x座標がrである点を点Rとして
プラスQ(単独)による点Rの電位を計算します
積分で計算しても良いし、電位の公式利用でも良いです
同様にマイナスQによる点Rの電位を計算
電位はスカラなので
Rの電位は
計算した２つの電位の代数和となります
つまり、単純に、求めた２つの値を足し算するだけです

２つ目は
今求めた、代数和を見て考えましょう

補足

これ、一つ目の付近の電位の答えが教科書ではQ/4πε×((1/√(X－l/2)^2+Y^2+Z^2)－(1/√(X+l/2)^2+Y^2+Z^2))となっているんですが、Y軸やZ軸を考えなければなりませんか？

回答No.2

hiro_1116

No.1です。

＞rがいきなりでてきて・・・

クーロン力が電化からの距離にどのように依存しているのか考えてみましょう。

補足

クーロン力は距離の二乗に反比例しているということですか？

回答No.1

hiro_1116

丸投げですか？

補足

ずっと考えてたんですが、rがいきなりでてきてどうやって式に埋め込むのか分からなくて…、丸投げですいません。