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sinθ+cosθ の範囲について
問題で 0＜θ＜180 （＜の下に＝がつきます） sinθ+cosθ＝ｔ とするとき、tのとりうる範囲を求めよ という問題があるんですが 三角形の合成で sin√2（θ+45）＝t で範囲は－√2＜θ＜√2だとおもったんですが 問題の答えは -1＜θ＜√2となってました 図とか描いてみて考えてもいまいちよくわかりません どうかよきアドバイスをください、お願いします
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とりあえず３６０度分（１周期分）図示してみました。フォントの関係でずれてしまうとは思いますが。 ↑ ｜ ＋ ｜＋ ＋ ｜ ３６０度 ―＋―――＋―――＋―――→θ ｜ ｜ ＋ ＋ ｜ ＋ θ＋４５° ＳＩＮ（θ＋４５°） ０ ０ ４５ （√２）／２ ここからスタート ９０ １ ここまで増加、以下減少 １３５ （√２）／２ １８０ ０ ２２５ －（√２）／２ ここまでが範囲 ２７０ －１ 本当はここが最小だが範囲外 ３１５ －（√２）／２ ３６０ ０ ですから、４５°≦θ＋４５°≦２２５°の範囲では、 －（√２）／２≦ＳＩＮ（θ＋４５°）≦１ ですね。最小値は、θ＋４５°＝２２５°の時、最大値はθ＋４５°＝９０°の時です。 ４５°の時の値 （√２）／２からだんだん大きくなって、１の時がピークで、減少に転じ、－（√２）／２まで下がって終りです。θの範囲がもう少し先まで（２７０°まで）あれば、最小値は－１になりますが、そこまでは到達していません。 求める値はこの（√２）倍ですから、 －１≦ＳＩＮθ＋ＣＯＳθ≦√２（０°≦θ≦１８０°） となりますね。 要するに、単調減少や単調増加ではなく、一度増加してから減少に転じているため、最大値、最小値は、範囲の最初と最後の時の値だけではなく、増加から減少に転じる時の値も考えなくてはならないわけです。
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＃２です。補足します。 sinなので単位円のｙ軸で考える、、ここまでは合ってます。 角度４５°から２２５°までの間で、ｙ座標が最小になるのはどこでしょうか？角度２２５度の時で、値は-1/√2ですね。ではｙ座標が最大になるのはどこでしょうか？45°ではなくて90°の時で、値は１です。
お礼
お返事ありがとうございます！ なるほど、単位円内の45から225までの範囲で 最大と最小になる値をみるということですね？ そうなると確かに最大が1で最小が-√2/2になって √2sin（θ+45）だから両者に√2をかければ -1≦sinθ≦√2になりました！ どうもありがとうございました！
- arukamun
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まずはお詫びを。 No.3で書いたすべての「変曲点」は「極値」の間違いです。 sinθをθについて微分すると、cosθ cosθをθについて微分すると、-sinθ なんで、 t = sinθ + cosθ をθについて微分すると、 t' = cosθ - sinθ になります。 t = sinθ + cosθ のグラフを描けと言われると、ちょっと難しいですよね。 微分は傾きを求める為に使う事が出来、傾きが0つまり極値点が増加減少に大きく関わってきます。
お礼
アドバイスありがとうございます！ t' = cosθ - sinθ は暗記することにしました。（笑） でも微分って結構いろいろな分野で つかえそうですね、とても参考になりました ありがとうございます！＾＾
- arukamun
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0°≦θ≦180° sinθ + cosθ = t って事ですか？ t = sinθ + cosθ θについて微分して見ましょう。 微分は習いましたか？ 変曲点を見つけましょう。 t' = cosθ - sinθ = 0 θ = 45° θ 0° 45° 180° t 1 ／ √2 ＼ -1 -1≦t≦√2 もし、 0°＜θ＜180°なら、-1＜t≦√2 0°≦θ＜180°でも、-1＜t≦√2
お礼
微分をつかって範囲を求める方法もあるんですね！ しりませんでしたー！ でも t = sinθ + cosθ t´=cosθ - sinθ ってどうしてこうなるのかわかりませんでした・・・
三角比の合成後の式は、以下の式になります。 t=√２sin(θ+45) （0≦θ≦180） （変形は後述） 0≦θ≦180の各辺に４５を加えて 45≦θ+４５≦225であるので -1/√2≦sin(θ+45)≦1（単位円より） -1≦√2sin(θ+45)≦√2 （変形） t=sinθ+cosθ=√2(sinθ*1/√2+cosθ*1/√2) ここでsin45=cos45=1/√2であることを利用して t=√2(sinθ*cos45+cosθ*sin45) 加法定理により t=√2sin(θ+45)
お礼
詳しい解説どうもありがとうございます＾＾ ＜ 45≦θ+４５≦225であるので -1/√2≦sin(θ+45)≦1（単位円より） とありましたが 僕も単位円をかいてみましたが sinをy軸として考えてみると 45≦θ+４５≦225 225＝ー√2/2 45＝ √2/2で ー√2/2≦θ≦√2/2 では・・・・と考えて しまうんですがいったいどこがいけないんでしょうか？
- springside
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まず、 sinθ+cosθ=√2sin(θ+45°)ですね。 0≦θ≦180°なので、45°≦θ+45°≦225°となります。 すると、その範囲でのsinの範囲は、 -√2/2≦sin(θ+45°)≦1 なので、 -1≦√2sin(θ+45°)≦√2 になります。
お礼
早速のお返事どうもありがとうございます＾＾ ＞ すると、その範囲でのsinの範囲は、 -√2/2≦sin(θ+45°)≦1 の部分でつまってます・・・ 単位円のｙ軸はsinの範囲をあらわしてるんですよね？ で、225と45を-√2/2、√2/2として ｘ軸に平行に横線をひくと -√2/2≦sin(θ+45°)≦√2/2になっちゃうんですが 根本的に単位円の見方に問題があるのでしょうか・・・？
お礼
丁寧な図解まで記載していただいてほんとうに ありがとうございます！ sinθのグラフを自分もなぞって書いてみました ところ、おっしゃるとうりに見た目で範囲が わかりました！単位円ではちょっとわかりにくかったのですが、グラフでみると一目瞭然で範囲が特定できました。とても参考になりました、ありがとうございます！＾＾