My parents ( ) living in Canada over 50 years ago.
という文の ( ) に何が入るか、という問題で、
与えられた選択肢に be動詞があれば、それを正解として使うことができます。つまり、over 50 years ago という過去の１時点の話をしていて、living と来ているので、過去進行形を使って主語が複数形の名詞なので
My parents ( were ) living in Canada over 50 years ago.
ということができたということです。
live という動詞は「住む」とか「生きる』とかの意味で使われる動詞で、状態を表しているので、あまり進行形にすることはないのですが、
両親が50年以上前の当時カナダに住んで「いた」という当時の時点の状態を強調して言いたい場合は、進行形を使うことがあります。
しかし、この問題では were という選択肢がないので、与えられた４つの選択肢で、
１）My parents ( bought ) living in Canada...
２）My parents ( answered ) living in Canada...
３）My parents ( began ) living in Canada...
４）My parents (climbed ) living in Canada...
から選ぶとすると、
１、２、４は言葉の並びから文が意味を成さないことがわかりますので、消去法で正解が３
My parents ( began ) living in Canada over 50 years ago.
であることがわかります。
ここで、begin という動詞がその後に名詞を欲しがることばで、動作を表す場合には ~ing の形（動名詞）や to do の形（不定詞）が使えることを知っていれば、３が正解だとわかります。つまり、begin という動詞がそういう使い方ができる動詞だということを知っていることを確かめる問題になっている、ということです。
