数列の問題です。

質問

h(x) = (3x + x/k) / 2, kはxを割り切れる最大の奇数

この関数に任意の自然数を繰り返し適用したとき、２の累乗数になることを証明してください。

ex)
x=5のとき、5を割り切れる最大の奇数は5なのでk=5
h(5) = (3*5 + 5/5) / 2 = 8 = 2^3

x=6のとき、6=2*3なので、k=3
h(6) = (3*6 + 6/2) / 2 = 10 = 2*5
h(10)= (3*10+10/2) / 2 = 16 = 2^4

この証明ができると、コラッツ予想が解けます。

回答No.1

Higurashi777

x=7のとき
h(7)=(3x7 + 7/7)/2 = 11 2の累乗数ではありません。
x=8のとき
h(8)=(3x8 + 8/1)/2 = 16 =2^4
x=9のとき
h(9)=(3x9 + 9/9)/2 = 14 2の累乗数ではありません。

ということで、「この関数」に任意の自然数を適用したとき、特定の自然数において２の累乗数になるという条件を満たすことはありますが、全ての自然数において必ず２の累乗数になる、ということはありません。

以上、ご参考まで。

補足

h(7)=11
h(11)=(3*11+1)/2=17
h(17)=(3*17+1)/2=26=2*13
h(26)=(3*26+26/13)/2=40=(2^3)*5
h(40)=(3*40+40/5)/2=128=2^7

繰り返し適用することが肝要です。