極限の問題で・・・

質問

lim (x→+0) e^(-1/x) / x^k 　　kは任意の自然数

の求め方が分かりません。解き方を教えてください。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

1/x＝ｔ　と置いてみる。
e^(-t)*t^k＝t^k/e^t　（ｔ→＋∞）

指数関数は整関数よりもずっと早く大きくなることは
常識的に使っていいと思う。
そこから証明しなければいけないのなら
e^tを多項式に展開する。

お礼

どうもありがとうございました。
常識的に使ってもよかったんですね～

ところで、e^t　を多項式に展開するってどうやってやるんですか？（テイラー展開ですか？）
また質問でごめんなさい＾＾

回答No.3

waseda2003

x = 1/t と置き換えると，

e^(-1/x) / x^k = t^k / e^t = {t / e^(t/k)}^k
= k^k {(t/k) / e^(t/k)}^k

と変形できるので，あとは高校で習う公式

lim_(x→+∞) x / e^x = 0

を用いればよいと思います。
この公式を学校でまだ習っていないなら，下のURLの基本演習「微分法」の[12]が参考になると思います。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/wasmath/exercise.htm

お礼

どうもありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.2

noname#24477

そうですね。テイラー展開（マクローリン展開）で必要な
部分までとって残りを切り捨てたものより大きいことが
いえていればよい。

高校範囲で言うなら
ｅ＞１より
（１＋ｒ）^t＞（１＋ｒ）＾ｎ　　（ｎは適当な自然数）
として二項定理を使えば係数が多項式になるので
必要な部分まで使えばいいと思いますが面倒ですね。

お礼

二項定理は気づきませんでした。
参考にします。ありがとうございました。