代数の問題なんですが・・・

質問

初等代数の問題なんですが・・・

小さいほうから数えてn番目の素数をPnとおくと、Pn＜2^(2^n)　が成り立つことをnに関する帰納法で示せ。

という問題です。どうしてもわかりません。どうかよろしくお願いします。

回答No.3

hpsk · ベストアンサー

ではヒントだけ。

n=1のときはいいですよね。

n=k で成り立つと仮定すると、 P_k < 2^(2^k) ですから、
証明すべきことは、
P_{k+1} < 2^(2^(k+1)) = 2^(2×2^k) = 2^(2^k + 2^k)
= 2^(2^k) × 2^(2^k)
です。
n=k における仮定を利用して証明するわけですから、
P_{k+1} < (P_k)^2 （ < 2^(2^k) × 2^(2^k) ）
を証明するという方針がよさそうですね。

つまり、P_k と (P_k)^2 の間に少なくとも一つの素数が存在することをいえばいいわけです。

これを言うためのポイントは以下の2点です。
・n=k だけでなく n=1,2,...,k で問の命題が成立していることを利用する
・P_1×P_2× ... ×P_n + 1 は素数

こんなところでいかがでしょうか。

補足

なるほど！　方針はわかりました。

（P1*P2*・・・*Pk）＜2^(2^1)*・・・*2^(2^k)
＝2^(2^(k+1)-2)

まで来たのですが、ここからうまくいきません。
すぐに両辺に1 を足して右辺に Pk^2 を作れるんですか?

回答No.4

hpsk

#3です。

> すぐに両辺に1 を足して右辺に Pk^2 を作れるんですか?
えっと、、、
（P1*P2*・・・*Pk）+ 1 ＜2^(2^1)*・・・*2^(2^k)
も成り立ちますよ。
難しく考えすぎてハマってしまったのでしょうか？

P1=2、 2^(2^1)=4 で、
残りは全て1以上の自然数ですから、
（P1*P2*・・・*Pk）と 2^(2^1)*・・・*2^(2^k)
の差が2以上であることは直観的には明らかですよね。

お礼

そういやそうですね。いや、おはずかしい。

なんとかできそうです。ありがとうございました。

回答No.2

hinebot

「任意の自然数pについてpより大きく、2pより小さな素数が必ず存在する」という性質を使います。

この性質においてpを素数とすれば、
「素数ｐの次の素数は2ｐより小さい」と言い換えれます。

※チェビシェフの定理とか不等式とか、知りませんか？

あとは自分で考えてみてください。

回答No.1

snoopy64

問題の丸投げは禁止です。
「ここまではわかるけど、ここが分からないので教えて」
というような質問なら大丈夫です。
頑張ってくださいヽ(^。^)ノ

補足

そうなんですか・・・。失礼しました。

帰納法は知ってるんですが、ｎ＝ｋのとき成立すると仮定したあとの、ｎ＝ｋ+１のときの計算がまったく進みません。ほとんど出来ないのと等しい状態です。