カッコ良い式変形？(^^;)

質問

|α|＜1，|β|＜1 として、|(－α＋β)/(1－αβ)|＜1 を示す時に、強引にやれば（添付ファイルのように）やってやれない事はないのですが・・・。

　比の形：|(－α＋β)/(1－αβ)| をできるだけ崩さずに、ぱっと見で ＜1 とわかるような、式変形ってないでしょうか？。
　αとβの相加相乗が使えるかなっ？、とも思ったのですが、どうもうまく行かず・・・(^^;)。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

α, βを以下a, bと書きます。a, bは何れも実数ですよね？（a = i/2, b = -i/2, iは虚数単位だと反例になってしまうので）。

で、これなら|a|<1, |b|<1 なら |ab| < 1なので 1-ab > 0となるから、

(-a+b) / (1-ab) - 1 = -(1-b)(1+a) / (1-ab) < 0
(-a+b) / (1-ab) + 1 = (1+b)(1-a) / (1-ab) > 0

となるので、-1 < (-a+b) / (1-ab) < 1となる、でもいいような気がします。

お礼

そうですよね。

　　α^2＋β^2－(1＋α^2･β^2)＝－(1－α^2)(1－β^2)

とわかるなら、

　　－α＋β±(1－α･β)＝±(1－α)(1＋β)

に気づいても良かったなぁ～と、回答を見て思いました。

　自分の頭のかたさに笑っちゃった次第です。目からウロコでした(^^;)。ありがとうございます(^^)。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

1^2 - |(－α＋β)/(1－αβ)|^2
= 1 - { (－α＋β)/(1－αβ) }^2
= { (1－αβ)^2 - (－α＋β)^2 } / { (1－αβ)^2 }
= { (1－αβ－α＋β) (1－αβ+α-β) } / { (1－αβ)^2 }
= { (1－α)(1＋β) (1+α)(1-β) } / { (1－αβ)^2 }
= { (1－α^2)(1-β^2) } / { (1－αβ)^2 }

分子、分母とも正の値であるので…でいかがでしょうか。

お礼

#1さんのお礼にも書きましたが、

　　α^2＋β^2－(1＋α^2･β^2)＝－(1－α^2)(1－β^2)

とわかるなら、

　　－α＋β±(1－α･β)＝±(1－α)(1＋β)

に気づいても良かったなぁ～と、回答を見て思いました。自分の頭のかたさに笑っちゃった次第です(^^;)。

　#1さんの方が早かったので、ベストアンサーは#1さんのさせて頂きましたが、ありがとうございます。