門外漢ですが、私の解釈を以下のとおりお答えします。
＞アインシュタインの方程式E＝ｍｃ＾２について
＞難しいことは全然わからないのですが、右辺と左辺のディメンションが同じという背景を説明していただけないでしょうか。
⇒私は、この方程式「E＝ｍｃ＾２」、すなわち、「エネルギー＝質量×光速の２乗」の光速という部分に引っかかっていました。しかし、放送大学の物理学などを「盗聴」している間に分かってきたように思いました。
すなわち、「素粒子の衝突崩壊の際の速度が光速と同じ」なので、光速の記号cをもって表しているのだ、ということを知りました。それだけでなく、実は「重力波、（光波を含む）すべての電磁波、素粒子間で働く強い力と弱い力」、これがみな光速と同じであることを知りました。
このうちの最後の２つ力すなわち、素粒子間で働く強い力と弱い力の存在が「E＝ｍｃ＾２」とｃに２乗がつく理由らしいこと推測している次第です。ということで、方程式「E＝ｍｃ＾２」を言葉で表せばこうなると考えます。
「物質の内包するエネルギー」＝「質量×素粒子間に働く強い力×同弱い力」。
これにより、「左辺と右辺とのディメンジョンが同じであること」を納得できるのではないかと思いますが、いかがでしょうか。
お礼
ご教示を念頭に置き自分なりに考えてみたいと思います。