e^π=i^(-2i)から-ilogi=π/2を導いた場合・・・

質問

右辺のπ/2は直角と何か関係があるのでしょうか。又左辺も何か直角と関係があるのでしょうか。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

複素数zの対数は、
log(z) = log|z| + iArg(z)
になります。（これを定義とする流儀もある）
したがって、zの偏角がもろにでてきます。
右辺のπ/2は、iの偏角を表していますね。

ちなみに、普通の複素平面では、log(z)は多値関数です。
log(i) = iArg(i) = i(π/2+2nπ)
なので（n:整数）、
-ilogi = π/2+2nπ
です。つまり無限個の値を取ります。
決して
-ilogi = π/2
ではないので注意。

お礼

iと直角の関係は初心者にも何となく感じられますが、改めて勉強してみたい気持ちが強まりました。どうもご丁寧にご教示いただきありがとうございました。

回答No.4

rabbit_cat

細かいことですが一応修正。
複素数zの対数は、
log(z) = log|z| + iArg(z)
ではなくて、
log(z) = log|z| + iarg(z)
ですね。

お礼

ご丁寧に訂正部分をお知らせいただきありがとうございました。

回答No.2

info22

#1の補足です。

πは円周率で、円弧の長さを半径で割ったのがラジアン単位の角度です。ラジアンという単位は無次元ですので、(π/2)を単位の無い定数として考えることも出来ますし、90度に相当する角度つまり(π/2)ラジアンとも考えることも出来ます。

A#1での式の複素領域での変形では明らかに複素数の位相角として(π/2)を扱っていますので質問の式での(π/2)は角度としてのラジアン単位で考えるべきですね。つまり直角の意味の(π/2)[rad]ということですね。

角度と考えるときはラジアンの単位[rad]をつけてはっきりさせる方はいいでしょうね。

お礼

勉強の指針を与えていただいた感じです。ありがとうございました。

回答No.1

info22

特に取り立てて直角と関係付けても意味は無いと思います。左辺を計算すればπ/2になるということ以外の意味はありません。
単に　i＝e^(iπ/2)という関係を使えば、以下の変形ですぐ右辺になります。

-i log i ＝-i log{e^(iπ/2)}
＝-i (iπ/2) log e
＝π/2
と簡単に変形できますね。

お礼

早速ご教示いただきありがとうございます。数値が直角と同じということは正しい判断なのですね。