どうしてもわかりません

質問

どうしてもわからない問題があります。単元はバラバラです。

１、x,yに関する連立方程式を解け
logxx+logyy^2=3、x+y=4（logxxは前のxが底で次のxが真数。
logyy^2は前のyが底で次のyが真数で、二乗になっています。）

１の問題は底の変換公式を使い、logxy=1または2というところまで解きました。
答えを見ると、その後に場合わけをしてxとyが求めてあります。
具体的には、(1)x=yのとき　(2)y=x^2のとき　　です。
場合わけの意味がわかりません。

２、z^2=-iを満たす複素数zを求めよ

３、a^2=-iとするとき、a^nと(4i/1+√3i)^nがともに実数となるような
最小の自然数nを求めよ

４、複素数4i/1+√3iの偏角を求めよ。

４については、答えが8√3/3(cos30°+isin30°)と出ましたが合っているでしょうか。

図もグラフもなく、読みにくくて申し訳ないのですが、よろしくお願い致します。

回答No.4

yaksa · ベストアンサー

1. 他のみなさまのとおり。
2. z=a+biと置くか、z=cosα+isinα と置くか。
　3.を考えると後者のほうがいいかな。
4. ちょっと違いますね。
　4i/(1+√3i) = 4i(1-√3i)/4
　= √3+i = 2(√3/2+i/2) = 2cos(30°+isin30°)
3.
　2.より aの偏角は、135°あるいは、315°
したがって、a^nが実数になるのは、nが4の倍数のとき。
　4より、4i/(1+√3i)の偏角は、30°
したがって、(4i/1+√3i)^nが実数になるのは、6の倍数のとき。
　求めるnは、4と6の最小公倍数12。

お礼

４について・・・あ、少し違ってますね、確かに・・・；
３・・なるほど、そうやってやればいいんですね！！ありがとうございました！！

回答No.5

twins-mama

4　は分母も分子も簡単に極形式にできるので、ソレを使ったほうが楽かな？

4i=4(cos90°+isin90°)
1+√3i=2(cos60°+isin60°)

　　　4i/1+√3iの偏角は　90°-60°=30°
問いにはないけど絶対値は　4/2=2

お礼

そうですね、両方そうした方がラクかもしれないです。
ありがとうございました！！

回答No.3

パんだ パンだ（@Josquin）

３、ｎは４の倍数（n=4m）からなんとかならないか？

お礼

な、なるほど。ちょっと難しそうですが頑張ってみます。
ありがとうございました！

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

１、指数と対数の定義を使います。　y=x^a ⇔ a=logxy

２、z=a+bi などと置いてみてください。

３、ちょっと難しそうなのでパス。

４、計算があっているなら、偏角は30°でしょう。

お礼

１は解決しました。本当にありがとうございます。
２は頑張ってみます。ありがとうございました。

回答No.1

he-goshite-

１について：
logxy＝1（xが底，yが真数）から ｙ＝ｘ
logxy＝２(ｘが底，yが真数）から　ｙ＝ｘ^2
となりますが・・・

２について：
たとえば，ｚ＝a+biと置いて，
（a+bi)^2＝-i　を解けばどうですか？

お礼

あぁっ・・・本当ですね（汗
１について、解決しました！！ありがとうございます。
２についても頑張ってやってみます。ありがとうございました。