変則的なコンプガチャの確率について

質問

タイトルの通り、コンプガチャを揃える確率の変化形のような問題なのですが解説していただけるとありがたいです。
くじが33本があったとします。そのうちの9本が当たりくじであり、当たりは各個区別され一度引いた種類の当たりは記録しておきます。
一回につき2本引くこととします。クジは引いた後に戻されます。
また一回引くごとには「はずれのくじ」が一本追加されます。つまり、たとえば二回目には33本の中から当たりを引かなければならないということです。
このようなくじにおいて、n回引いた時点で初めて全種類の当たりくじを引いたことが記録されている確率はいくつでしょうか？どういう風に考えて立式していけばよいのでしょうか？
n回に対する一般式がないのであれば、10回目でそうなる確率で考えてほしいです(原理上全て揃うのに最低8回は必要です)。
またこのようなくじにおいて全種類の当たりくじが記録されるまでにかかる回数の期待値も求めてほしいです。回答よろしくお願いします。

問題設定について不思議に思う方もいると思うので背景等補足します。
ネット上にはクリエイターに月々お金を払うとその対価がもらえるパトロンサイトと呼ばれるサービスが存在します。
私はイラストが好きで特に好きな作風の作者に対してそういったパトロンサイトを通じてお金を払うという形で支援をしています。
そのなかで複数のパトロンサイトにまたがって受け口を用意している作者がいます。
支援期間において一か月ごとに閲覧可能な作品がまとめられているのはどのサイトでも同じなのですがそれ以外のところで少し事情が異なっています。
entyというサイトでは支援していなかった月の作品を見るにはその月支援していた人が払っていた額と同額を支払うことで、バックナンバーの購入という形をとるようになっています。
しかしentyでは作者は2021年2月以降のバックナンバーを用意してないのです。
一方fanboxというサイトではそれを補うようにして、支援した人限定で閲覧可能なページの中に、作品が置いてあるドロップボックスへのリンクが貼ってあります。
その月の作品が置いてあるリンクと、2019年以降の過去作品が置いてあるリンクを「ランダムで2か月分」です。
また閲覧可能なページの中に記載されているリンクは一か月ごとに入れ替わります。たとえばある月に支援を始めた人に対して、翌月から支援し始めた人は、その月の作品は当然閲覧できますが、先月分も含め過去の作品が見られるかというについてはランダム性にかかっているのです。
しかもどの月のもの選ばれるのかという対象範囲は、一か月経過するごとにひと月ずつ増えていくことになることが分かると思います。
つまり、前述の問題におけるくじ33本というのは2019年1月から2021年10月までの期間に対応します。ランダムで2か月分見られるということはくじを2本引くことと一緒です。
当たりが9本というのはバックナンバーとして買えない月である2021年の2月から10月という期間に対応します。それ以前の月はバックナンバーとして購入すればいいだけなので、いわば「はずれ」なのです。
またはずれが一本ずつ増えるということは、たとえば11月から支援を始めた人にとっては翌月になると、11月の分も「ランダムで選ばれる2か月分」の対象になりますが、その月の作品へのリンクは既に知っているのでそれが選ばれた場合も「はずれ」ということになります。
ようするに確率に興味を持った背景が長々としていてしかも問題を把握する側にとっては本質的な情報がそのうちの一部であるため、くじを引くという形に単純化して質問させていただきました。
つまりひと月3000円かかることもあり、一体過去作品が全部閲覧できるまでには何円かかるものなのだろう、何ヶ月かかるものなのだろうと心配になって質問したということです。改めて回答よろしくお願いします。

回答No.2

neKo_quatre · ベストアンサー

くじの本数が増えていくってのは一般的じゃないですから、表計算とかプログラムで試行して、くじ引いていくのを1万回繰り返したら、何回目でコンプしたかの平均値とか見てみるのが良いのでは。

にしても、前提条件としてまだ分からないのは、

> 当たりは各個区別され一度引いた種類の当たりは記録しておきます。

記録はするとして、引いたくじは戻すって事で良いの？

> (原理上全て揃うのに最低8回は必要です)。

最初から当たりが出まくれば、
１回目　当たり１番　当たり２番
２回目　当たり３番　当たり４番
３回目　当たり５番　当たり６番
４回目　当たり７番　当たり８番
５回目　当たり９番　はずれ
と、
５回でコンプする可能性はゼロではないのでは？
８回目になるって理屈はどういう理屈で？
１回引いて、当たりは１本しか無いとかって制限でもあるの？

と、不明瞭な点が多いです。
途中のパトロンサイトの話も冗長なだけですし。

前述したように、しっかり説明して、質問しなおす方が良いと思います。

お礼

おっしゃる通り理解不足があるためか書き間違いが多いようです。
今回は一度締め切ります。考えを整理し直して質問したいと思います。回答ありがとうございまた。

回答No.1

neKo_quatre

| くじが33本があったとします。
| 一回につき2本引くこととします。

引いた時点で、残り31本。

| クジは引いた後に戻されます。

なので、残りは33本。

| また一回引くごとには「はずれのくじ」が一本追加されます。

ならば、残りは34本。

| つまり、たとえば二回目には33本の中から当たりを引かなければならないということです。

なんで？
34本ではないの？

この点不明なので、前提条件が違ってると、以降の話を考察しても意味無いので読んでません。
順序立てて、しっかり説明するのが良いと思います。

どんどんクジが増えるとして、初回で当たらなきゃ、当たりの確率がどんどん下がるひどいクジって事になるけど…。

お礼

回答ありがとうございます。補足にて訂正しました。もう一度回答をいただけるとありがたいです。

補足

文章を直しているうちに打ち間違えが生じてしまったようです。34本で合っています。困惑させてしまいすみません。