根号内の比較

質問

本によると、2+√5=(k^3+3k)/2+{(k^2+1)/2}*√(k^2+4)のとき、k^2+4=5とは限らないみたい(k^2=1以外が存在するときがあるらしい)ですが、これは(k^2+1)/2=1,(k^3+3k)/2=2を同時に満たす必要があるからでしょうか、どなたか解説お願いします。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

kが有理数であれば、両辺の有理数部分と無理数部分を比較して
√(k^2 + 4) = √5
とできるが、kが無理数であればその限りではない（kを含んだ式の、見かけ上√を含まない部分から√5が現れることがある）ということではないかと推測されます。

お礼

ｋに無理数を代入して、具体的に考えてみようと思います。
お返事ありがとうございます。

回答No.2

tmppassenger

> f(1) = 1
もちろん f(1) = 2+√5の間違いです。

回答No.1

tmppassenger

別にかならずしも同時に満たす必要はありませんが、
f(k) = (k^3+3k)/2+{(k^2+1)/2}* { (k^2+4)^(1/2)}
とおくと、

* f(k)は狭義単調増加（検証してください）
* f(1) = 1

であるから、実数の範囲ではk=1のみです。