数Aの漸化式 an+1=pan+qの変形の公式がよくわかりません

質問

参考書の例で
an+1=2an+3n──→an+1/3n+1=2/3・an/3n+（プラス）1/3──→ｂn+1=2/3bn+（プラス）1/3
　　　（両辺に×1/3n+1）　　　　　　　　　　（an/3n=bnとする）　　　　　　
というのがありました。でも、はじめの式に1/3n+1をかけるとどうして右辺の3nが、3n/3n+1ではなくて1/3になるのかがどうしてもわかりません。（どうしてnが消えるのか、分子が１になるのか）
僕は数学が苦手ですが、どうしても克服したいとおもっています。どなたか教えてください。

回答No.3

ryn · ベストアンサー

> もしかして、2/3・an/3^n の^+1の部分は
> 左側の2/3の分母に変わったんでしょうか。
そうです．
あってますよ．

> 周りに誰も聞く人がいないので、
> どうしても自力でとくか、
> 形だけを暗記するしかない状況です。
> やっぱり独学で数学は限界があるんでしょうか。
人と議論したり教えてもらうと早いですが
自分で考えて解くという作業は必要だと思います．

また，公式1つにしても形だけを暗記するのではなく
なぜそうなってるのかを考えると理解が深まると思います．

お礼

度々ありがとうございます。
やっと理解できたんですね。これでもうこの公式は忘れません（笑）
今は独学で続けていくしかないのでやれるだけがんばってみます。また何かわからない事があったら教えてくださいね。

回答No.2

ryn

3n は3のn乗のことですね．
3×n と区別がつかなくなるので
このサイトのようなテキスト形式では
3^n と書いてくださいね＾＾

さて，ご質問のほうですが指数法則
　a^m × a^n = a^{m+n}
　a^m ÷ a^n = a^{m-n}
の計算です．

n乗のように文字がやりにくければ
最初は数字で考えてみましょう．
例えば，
　3^2/3^3
が 1/3 になるのはいいですか？
これが大丈夫なら
　3^3/3^4
　3^4/3^5
　　：
　3^n/3^{n+1}
も同様に 1/3 になることがわかると思います．

お礼

お返事ありがとうございます。
3のn乗は3^nと書くんですね。知りませんでした。

アドバイスをいただいて、やっと理解できました。ありがとうございます。ただ、また新たな疑問が出てきてしまいました。
an+1=2an+3^n
=an+1/3^n+1（は掛け算と指数だから約分ができない）だけど次の、
2/3・an/3^n これの分母についてた^+1はどこへ消えてしまったのでしょうか。分子のnもまだ残っているのになぜこれが消えてしまったかわかりません。

周りに誰も聞く人がいないので、どうしても自力でとくか、形だけを暗記するしかない状況です。やっぱり独学で数学は限界があるんでしょうか。
質問が増えてしまってごめんなさい。

補足

わかったかもしれません。
もしかして、2/3・an/3^n の^+1の部分は左側の2/3の分母に変わったんでしょうか。
お礼とと前後してしまってすみません。

回答No.1

graduate_student

amcatさん,少し誤解していますね.
まず,(ア)3n+1と(イ)3(n+1)の違いは,
(ア)は3nに1を加えただけ,(イ)は3nに3を掛けたものです.

今,両辺を3n+1ではなく,3(n+1)で割っているのです.

そうすると,
an+1=2an+3n
→an+1/3(n+1)=2/3・an/3n + 3n/3(n+1)
となります.
ここで,3n/3(n+1)の部分を見ます.
分子の意味は「3がn個ある.」,分母の意味は「3が(n+1)個ある」という意味です.
だから,約分していくと,3n/3(n+1)=1/3になりますよね？

お礼

お返事ありがとうございます。
アドバイスをいただいて、やっと理解ができました。数学はやっぱりわかると面白いですね！