至急解いてください！

質問

困ってます。至急解説して欲しいです！！

答えは1+√19です

よろしくお願いします！

回答No.7

staratras

「N0.6の訂正」の訂正です。失礼しました。
No.4→N0.5です。

回答No.6

staratras

No.4の最後から3行前の誤記を訂正します。-1は不要です。

誤：(x^2-2x-18)(x^2-1-2x+18)=0
正：(x^2-2x-18)(x^2-2x+18)=0

なお念のためにy、zを求めると
x=1+√19≒5.3589をNo.4の各式に代入して
v=√(32-2√19)≒4.8252
z=2√3(4+√19)／√(32-2√19)≒6.001　です。

回答No.5

staratras

BF=x,BE=y,AB=z　とする。
三角形FBEに余弦定理を適用して
y^2=x^2-4x+16 …（１）

BC=√3z、三角形BCFと三角形GAFは相似で相似比はx:3だから
AG=3√3z/x　三角形ABGに三平方の定理から
z^2+(3√3z/x)^2=(x+3)^2 これを整理して
(x+3)^2=z^2+27z^2/x^2 …（２）

三角形FBEの3頂点を通る円を描きABとの交点をHとする。
三角形HBFと三角形EFCは相似になるので
BF:BH=FC:FE　x:2zx/(x+3)=y/√3:4 これを整理すると
x+3=yz/2√3 …（３）

(１）（２）（３）からyとzを消去すると
x^4-4x^3+4x^2-324=0
(x^2-2x-18)(x^2-1-2x+18)=0
このうち正の実数解はx^2-2x-18=0 から得られるx=1+√19　のみ　
答えBF=1+√19

回答No.4

gamma1854

Bを原点とするxy座標平面に、A(0, 1), C(√3, 0), D(√3, 1) をとる。
このとき、線分AC : x=√3*t, y=1 - t, (0<t<1) とする。
F(√3*t, 1 - t) とすると、G(√3*t/(1-t), 1), E(√3*t - √3*(1-t)(2t-1)/(1+2t), 0)
ですから、9*FE^2=16*FG^2 なる条件より、
9(1-t)^2*4(4t^2-2t+1)/(1+2t)^2=16t^2*(4t^2-2t+1)/(1-t)^2 ⇔
(4t^2-2t+1)*{9(1-t)^2/(1+2t)^2 - 4t^2/(1-t)^2}=0 ⇔
3(1-t)^2=±2t(1+2t).
0<t<1 をみたす解は、t=√19 - 4.
BF=3(1-t)/t=1+√19.
となります。
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省略箇所はご自身で考えて計算してください。

回答No.3

tmppassenger

座標を使って気合で解けばでる。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

∠ABF = θ とおく。∠BAF = 60° なので
∠BFC = θ+60° であり、∠EFC = θ とわかる。
ここで ∠HEC = 30° となるような点HをFC上にとる。
∠FHE = 60° なので、△FEH と △BFA は相似である。
BF = x とおくと相似比は 4 : x である。よって
(EH + HF) : (FA + AB) = 4 : x である。
ここで EH = HC なので、この式は
CF : (FA + AB) = 4 : x …(*)
と書き直せる。
ここで AB = a とおく。AC = 2a であり、FはACを 3 : x に内分する点である（△AGFと△CBFの相似比より）。よって
AF = 2a * ( 3 / (3 + x) ) = 6a / (3 + x)
CF = 2a * ( x / (3 + x) ) = 2ax / (3 + x)
となり、(*) に代入することで
2ax / (3 + x) : ( 6a / (3 + x) + a ) = 4 : x
という式が得られる。この比例式を変形して
2axx / (3 + x) = 24a / (3 + x) + 4a
両辺を 2a で割って
xx / (3 + x) = 12 / (3 + x) + 2
両辺に (3 + x) をかけて
xx = 12 + (6 + 2x)
xx - 2x - 18 = 0
x > 0 より x = 1 + √19

…でいかがでしょうか。