減衰比と走行速度との関係

質問

添付ファイルのようなモデル(質量mの質点とバネ定数k、減衰係数cのバネ)をスロープ角一定の下り坂の上で受動走行させた場合、走行速度がモデルの減衰比に比例したのですが、なぜ減衰比に比例すると思われますか？ま
た、その比例係数は何によって決定されますか？比例係数はスロープ角に依存すると思うのですが、厳密にどのような関係式で減衰比と走行速度(前進速度)の関係を表すことができるのか、ご助言いただけると幸いです。よろしくお願い申し上げます。

回答No.3

CygnusX1

vx = X / (t1 + t2) からの続き

vx = X / (t1 + t2) = X / (sqrt(2 y / g) + sqrt(2 (y + h) / g))
= X (sqrt(2 (y + h) / g) - sqrt(2 y / g)) / (2 (y + h) / g - 2 y / g)
= X (sqrt(2 (y + h) / g) - sqrt(2 y / g)) / (2 h / g)
= X (sqrt(2 (y + h) g) - sqrt(2 y g)) / (2 h)

ここで
sqrt(2 y g) = sqrt(2 (y + h) g) exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))
なので(#1の真ん中あたりの式)

vx = (X / (2 h)) (sqrt(2 (y + h) g) - sqrt(2 (y + h) g)) exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2))
= (X / (2 h)) sqrt(2 (y + h) g) (1 - exp(-ζπ / sqrt(1 - ζ^2)))

ようやく、速度 vx と減衰比 ζ の式になりましたが、ζは exp( ) の中に入っているので、比例とは言えないような・・・

お礼

すみません、教えて頂きたいことがございます。

ご回答に記載のものは、

v3 = v2 exp(- ζπ/ sqrt(1 - ζ^2))

とありますが、これは減衰比ζの質点が床に跳ね返ったときの垂直方向の速度に関する関係式を表していると思います。

質問文のモデルのように、質点にバネが取り付いており、スロープ角αの斜面に対して、バネのスロープに対する角度がθ1でスロープに着地するときを考えると、その後離陸した瞬間の垂直方向速度v3というのはどのように表すことができるのでしょうか？同じ減衰比でもバネの着地角θ1によってv3は変わってくるのではないかと思うのですがいかがでしょうか？

恐れ入りますがよろしくお願いいたします。

補足

下記の減衰比ζはc/2/sqrt(m*k)とします。c:バネの減衰係数、 k:バネのバネ定数、m:質点の質量。よろしくお願いいたします。

回答No.2

CygnusX1

訂正
vx = X / (t1 + t2)

回答No.1

CygnusX1

下記のURL の質問のお礼を読んでやっと図と問題文の関係がわかりました。

https://okwave.jp/qa/q9879056.html

坂道をぴょんぴょん飛び跳ねて降りるということなんですね。
で、考えました。

スロープを X 進んだ時に h 下がるとします。tanθ= - h / X
１回目の跳ね返り後の高さ(最高点)を y とすると、落ちる高さは y + h となります。
１回目の反射上昇時の速度は v1 = sqrt(2 g y)
２回目の落下時の速度は v2 = sqrt(2 g (y+h))
反射上昇時の速度を減衰比で表すと
v3 = v2 exp(- ζπ/ sqrt(1 - ζ^2))
これが繰り替えされるとすると、v3 = v1 となる
sqrt(2 g y) = sqrt(2 g (y + h)) exp(- ζ π/sqrt(1 - ζ^2))

水平方向の速度 vx は
上昇時間 t1 = sqrt(2 y / g)
降下時間 t2 = sqrt(2 (y+h) / g)
vx = X ( t1 + t2)

こうなると、一定速度で進むはずですが、「比例する」というのがわかりません。
かなり特別な条件が揃わないと成り立たないと思うんですが。

その他
ばねの向きは衝突前と後で向きが変わるのですが、次の衝突の時に元の向きに戻る理屈がわかりません。ま、この問題はばねが仮想のものだと考えればいいんですけど、そうすると、反射の条件が変わってしまうんですよね。
衝突は面に垂直な速度成分と平行な速度成分に分けて考えるので、
斜面の場合、面に平行な速度にも重力の影響が出てしまいます。
そうすると面に平行な速度がどんどん上がってしまい、一定速度にはなりません。
これを回避するためには、斜面ではなくて、階段を飛び跳ねながら落ちていく、という問題にすればいいです。

後半ぐちゃぐちゃになって(前半も)ごめんなさい、です。

お礼

詳しく導出いただき本当にありがとうございます！！！いま、お教えいただいた式と数値シミュレーションの結果とを比較しております。結果が分かり次第、ご報告させていただきます！取り急ぎ、御礼申しげますm _ _ m