発散するのに積分可能？
積分∫∫∫|R|^-2 dxdydz
を考えます。
積分領域は全空間とします。
またRは三次元ベクトルでR=(x,y,z)と定義され、|R|はベクトルRの長さとします。
さて、明らかにR=0の点で被積分関数は発散します。
私の式変形が正しいのであれば、球座標変換により、上記の積分は
∫∫∫sin θ drdθdφ = [有限の値]
となり、積分可能となります。
私の質問は以下の2つです。
(１)式変形はあってますか？
(２)発散するのに有限の値を持つのはなぜ？
例えば1次元の関数 x^-2 を[a,+∞]の範囲で積分することを考えます。
このとき、a->0とすれば積分値はどんどん大きくなります。
同様に考えて、問題の積分の式は発散すると思ったのですが、なぜか有限の値が出てきてしまいました。
球座標系にしたとたんに有限の積分値になってしまうのはなぜなのでしょうか？
それとも、私はどこかで大きな勘違いをしているのでしょうか？
