実数と自然数は同じ個数なのではないでしょうか？
すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる(すべての実数を一列に並べる)方法を考えました。間違いがあれば教えてください。
＊方法1＊「後出し」は実数の専売特許にあらず
まず、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるのだが、それは、異なる実数を無限に並べた「第一列」の「一番目」の実数を「1・1」とすると、
1→1・1
2→1・2
3→1・3
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と表すことができる。これはいわゆる「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定したもの」であり、対角線論法によってこの表には存在しない実数を作れることから、仮定は間違い＝「実数は自然数より多い」という結論になるのが従来の話である。しかしこれは、自然数を対応させる対象を「第一列」に限定したことによる間違った結論だ。
対角線上の数字のずらし方は、すべて一つずらす1111…の他に、1211…,1234…,2624…と無限にあるので、一つの対角線から、「第一列」には存在しない実数を無限に生み出すことができる。対角線論法によって生み出された無限の実数を並べた「第二列」に自然数を対応させることができなければ先の結論は正しいことになるが、そんなことは全然なく、「第二列」の「一番目」の実数を「2・1」とすると、
1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
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のように、始めの、自然数と「第一列」の対応を解消した後、あらためて自然数を、「第一列」と「第二列」に、交互に対応させればいいだけの話なのだ。で、これは、「第一列」と「第二列」を合わせて「新たな第一列」にした(＝始めの状態にリセットした)ということであり、この「新たな第一列＝N1」の対角線から、対角線論法によって「新たな第二列＝N2」が生まれるので、そしたらまたそれまでの対応を解消して
1→N1・1
2→N2・1
3→N1・2
4→N2・2
5→N1・3
6→N2・3
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と、自然数を「新たな第一列」と「新たな第二列」に交互に対応させ、これを無限に繰り返せばいいのである。自然数を、「新たな第二列」の実数に、無限に対応させ続けることができるということは、すなわち両者の個数は同じということなのである。
それにしても、無限に生み出される「新たな第一列」と「新たな第二列」は合わせて「新たな第一列」にできるのに、なぜ始めから一列に並べることができないのか。
方法1を別の言い方でまとめると、まず
1→1・1
2→1・2
3→1・3
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のように、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるところから始めて、次に
1→1・1
2→ ←2・1
3→1・2
4→ ←2・2
5→1・3
6→ ←2・3
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と、「第二列」の実数を「第一列」に割り込ませて、始めの、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させた状態
1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
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↓
1→1・1(1・1)
2→1・2(2・1)
3→1・3(1・2)
4→1・4(2・2)
5→1・5(1・3)
6→1・6(2・3)
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にリセットして、そしたらまた
1→1・1
2→ ←2・1
3→1・2
4→ ←2・2
5→1・3
6→ ←2・3
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と、「第二列」の実数を「第一列」に割り込ませて…とこれを無限に繰り返す、といった具合に説明することができる。
＊方法2＊実数を整列させる
方法1は「動的な対応」とでも言うべきものであり、できれば「静的な対応」が望ましいわけで、そのためには実数を整列させる必要があるのだが、以下のようなやり方ではだめなのか。
まず
1→0.1
2→0.2
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9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
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99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
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9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
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…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
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というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。
例えば、小数点以下、一恒河沙の一恒河沙乗番目が2、一阿僧祇の一阿僧祇乗番目が3、一那由他の一那由他乗番目が4の
0.1…2…3…4…
のような無理数について、この並びの途中までのものしかないとしたら、ではどこまでのものならあるのか。0.1…2か、0.1…2…3か、0.1…2…3…4か。実際には「途中まで」などということはなく、つまりこの列にこの無理数は存在し、この任意の無理数が存在するなら(0と1の間の)すべての無理数が存在するのである。で、この表は左右が対称的になっているから、右に無限小数が存在するなら左には無限桁の自然数が存在するのである。
有限桁の自然数を重複することなく無限に並べることができないのと同様に、有限小数を、重複することなく無限に並べることはできない。この列は0と1の間の実数を整列させたものであり、この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在しない。
で、すべての実数を整列させると
0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
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(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
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となるので、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、
1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
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のようになる。
ところでそれでも従来の考えが正しい場合、循環小数と非循環小数の個数に差が出る本質的な原因、両者の違いは何なのか。明確な違いは「整数比で表せるか表せられないか」だが、循環小数と非循環小数をそれぞれ循環数列と非循環数列に置き換え(今問題にしているのは個数であり、小数点を取り除いても個数は変わらない)れば整数比は関係なくなるわけだし。単なる数字の組み合わせに過ぎない同じ無限数列でありながら、循環させないというだけで個数が多くなるというのは何とも妙な話である。
お礼
添字集合でしたか。ありがとうございます。