自然数の定義

質問

どうも、こんにちは。
私は今数論の本を書いているのですが、
その中で、自然数の定義についてどのように
書けばいいのか分からず困っています。
色々と数論の本は見てみましたが、
どれも「物を数える際に使用する数」とか、
そんな大まかなことしか書いてありません。
私が欲しいのは、自然数の厳密な定義です。
どなたかご存知でしょうか。
また、貴方だったら自然数をどのように定義しますか。

左にもある通り、暇だったらでいいので
回答くださいませ(^-^;

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=217225
で似たような話が出たばかりです。

●ひとつのやり方は
空集合をφで表すことにすると

無限公理：「φ∈x、n∈x→ (n∪{n}) ∈x、を満たす無限集合xが存在する。」

を前提として、
0=φ
1=0∪{0} = {0}
2=1∪{1} = {0,1}
3=2∪{2} = {0,1,2}
　：
だけを含む無限集合ωの存在を示し、さらに数学的帰納法が使えることを証明する。

●別のやり方としては、ペアノの公理を公理系として最初から採用してしまう。

専ら自然数の性質を論じたければ、後者の方が手っ取り早いでしょう。

お礼

前者は下の方と一緒ですね。

後者については、今まで考えたことも無かったですf^^;
まあ、自然数の定義の仕方としては、
こういう感じがいいんでしょうね。

……でも、下の方のリンク先にもあった通り、
自然数の定義の仕方は一つだけじゃないんで、
もっと自分なりの定義の仕方を考えてみます。
どうもありがとうございました。＜お二方

回答No.1

noname#5277

このようなページを発見しましたので参考にしてください。

参考URL：

http://h.iwa.hokkyodai.ac.jp/mathedu/subjects/nq/summa/5/2/2/index_j.html

お礼

見てみました。
で、こういった定義の仕方は、
実は位相の時間で先生が説明をしていました。

実を言うと、私はこの定義の仕方はあまり好きではないんですよ。
例えば、空集合を一つの集合として、
その個数を1としているわけじゃないですか。
空集合ってのは元が無い集合なのに、
何で無いものがあるんだってことを考えると
次第に混乱してきてしまって……
（いや、頭では分かるんですけどね。）

だから、正直これとは別の定義をしたいと思うのですが。
スミマセン、このことは最初に書いておくべきでしたね。