高階の導関数の値≠０ の関数の特徴は？

質問

2階以上の高階の導関数が、決して　０　という値を取らない、つまり、1階以上の導関数　＝　０　と置いた方程式に、決して重解がない、という様な関数は、どんな特徴があるのでしょうか。具体例も挙げてお答え下さい。

回答No.1

MrXu · ベストアンサー

問題とする関数をf(x)とし，さらに g(x)=f'(x) とおきます．
さらに，次のように命題に番号を付けることにします．

(1) f^{(n)}(x)=0 とならない(すべての n>=2について)
(2) f^{(n)}(x)=0 が重解を持たない (すべての n>=1について)
(3) g^{(n)}(x)=0 とならない(すべての n>=1について)
(4) g^{(n)}(x)=0 が重解を持たない (すべての n>=0について)
(5) g^{(n)}(x)=0 となるような x と n (n>=1)が存在する
(6) g^{(n)}(x)=0 が重解を持つようなn (n>=0) が存在する
ここで，f^{(n)}(x)は，f(x)のn次導関数を表しています．

すると，
(1)⇔(3), (2)⇔(4) がすぐに分かります．
また，(3)の逆が(5), (4)の逆が(6)です．

なので，もし質問にある
「(1) すなわち (2)」というのが
(1)⇔(2)という意味であるなら
(5)⇔(6)となりますが，
(5)⇒(6)は必ずしも成り立たないので，(2)⇒(1)も偽であり，
質問自体が間違っていることになります．

これを踏まえて，(1)をみたすような関数にどんな例があるか，
についてお答えします．

(1)が成り立つということは，すなわち
2階導関数が正または負で，
3階以上の導関数がすべて増加関数あるいは減少関数になるということです．
n階導関数がすべて正になる例としては，
y=exp(x)が挙げられます．
交互に正，負の値を取る物としてはこれをy軸に関して対称移動した
y=exp(-x)
があります．
また，定義域を正に限定するならば
y=log(x)，あるいはこれを積分した y=x log(x)-x などもありますが，そんなのでよいならば
y=cosh(x) (x>=0),
y=sin(x) (0<=x<=π/2)
など，探せばいくらでも見つかりそうだということになります．

一方，多項式関数は最高次数より大きな階数微分すると0になりますから
仮定をみたしません．

答えになっているでしょうか．

お礼

懇切ご丁寧な御回答を頂きまして、誠に有難う御座いました。