等周問題で！

質問

等周問題で，最適制御を使った問題ですが，
最後の結論のところの計算が分からないので教えてください．

■結論は，

（注意）dx/dtを　ｘ(・)と表記します．
　　　　(dx/dt)＾2　は，ｘ(・)＾2　と表記します．

x(・) / {√1+x(・)^2} = A + B*t

は，円の弧である
（ｘ－ｘ1）^2 + (t-t1)^2 = r^2
を満たすというもので，簡単に証明できると
書いてあります．教えてください．

■問題を解くのに必要ないのかもしれませんが，一応，以下に，等周問題を付記しておきます．

横軸のt軸上に2点（0点とT点）をとり，
これらを結ぶ一定の長さのLの曲線とt軸とで取り囲まれる面積を最大にするという古典的な問題です．

　※この問題は，時間Tは指定，状態変数X(T)も指定
の問題です．

評価関数
Max：J=∫[0→T]ｘdt

制約条件
１）x(・)＝u
初期条件x(o)=0 ,終端条件x(T)=0

２）∫[0→T]（√１＋u^２）dt＝L　（ただし，Lの長さ＞Tの長さ）
　　この２）の長さの積分制約は，次の状態変数yを導入することで終端条件のある最適問題に帰すことが可能となる．
　y(・)＝（　√１+u^2　）
　初期条件ｙ(0)=0，終端条件y(T)=L

よって，ハミルトニアンは
H＝λu + δ（　√１+u^2　）＋　ｘ　である．
（λ，σは，ラグランジェ乗数）

必要条件から，
-λ(・)＝１ 　，　　-σ(・)＝０
したがって，この微分方程式を解くと，λは，時間ｔに関して線形，σは，定数である．

また，最大化の必要条件から
制御変数uでHを微分すると
бH/бu＝λ＋｛σu/（√１＋u）｝＝０
これに，制約条件のX(・)＝u　と
λがｔの線形，つまり，A＋B＊ｔ　を代入すれば，結論にある式となる．

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

強引な方法しか思い浮かびませんが

x(・) / {√1+x(・)^2} = A + B*tを2乗したものを変形すると
x(・)^2=(A+Bt)^2/(1-(A+Bt)^2)
となります。

よって、x(・)=(A+Bt)/√(1-(A+Bt)^2)となるので、これを両辺をtで積分すると

x=(-1/B)√(1-(A+Bt)^2)+C　(C:積分定数)←自信無し

∴(x-C)^2+(t+A/B)^2=1/B^2

A,B,Cを適当にとれば、（x-x1）^2 + (t-t1)^2 = r^2になりそうです。

お礼

ご回答ありがとうございました．
まだ，計算能力不足で円方程式までは至っていませんがかなりいい線まで導いていただきました．
解けないときは，タイトルが地味で，説明が冗長だったので，改めてその微分方程式だけの質問を簡単に再度したいと思います．今回はありがとうございました．またよろしくお願いします．