極方程式です 途中式もお願いします

質問

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a＞b＞0) の中心Oから垂直な2つの半直線を引き、楕円との交点をP,Qとすると、1/OP^2+1/OQ^2は一定であることを求めよ

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1をパラメータ表示したとき

P(α,β)は

α=acosφ 、β=bsinφ

で表されますが、このθが曲者で∠POｘ=θではありません。

θとφの関係は

tanθ=β/α=(b/a)tanφ

で与えられます。

∠POｘ=θからπ/2進んだθ+π/2の角度を有する直線が楕円と交わる点がQで

Q(γ,δ）とするとパラメータωを用いて

γ=acosω 、δ=bsinω

で表されます。

δ/γ＝(b/a)tanω=tan(θ+π/2)=-cotθ

よって

tanω＝-(a/b)/tanθ

以上で準備ができたのでcos^2φ=1/(1+tan^2φ), sin^2φ=tan^2φ/(1+tan^2φ)を用いて

OP^2=α^2+β^2=a^2cos^2φ+b^2sin^2φ=(a^2+b^2tan^2φ)/(1+tan^2φ)

tanθ=(b/a)tanφを用いてθで表すと

ゆえに　

OP^2=a^2b^2(1+tan^2θ)/(b^2+a^2tan^2θ)

OQ^2は

OQ^2=γ^2+δ^2=a^2cos^2ω+b^2sin^2ω=(a^2+b^2tan^2ω)/(1+tan^2ω)

tanω＝-(a/b)/tanθを用いてθで表すと

OQ^2=a^2b^2(1+tan^2θ)/(b^2+a^2tan^2θ)

OQ^2=a^2b^2(1+tan^2θ)/(a^2+b^2tan^2θ)

1/OP^2+1/OQ^2=(a^2+b^2)/a^2b^2=1/a^2+1/b^2

回答No.1

Tacosan

質問の日本語がおかしいしどこが「極方程式」なのかさっぱり分からない.

カンニングでもするつもり?