中3数学の問題教えてください

質問

添付図でAB.BCの中点がM.Nです。三角形ABCの面積が60のとき、四角形ＭＢＮＰの面積は？
どうやって解くのでしょう？

回答No.5

staratras

No.4です。この問題では三角形ABCの面積が60というだけで、その形については何も書かれていません。ということは、三角形ABCの形がどんな場合でも四角形MBNPの面積は決まっているということです。これを利用すれば答えの検算ができます。

特別な場合として三角形ABCが正三角形の場合を考えます。下の図の通りで、正三角形ABCは四角形MBNP自身とこれに合同な2つの四角形の、合わせて3つのまったく同じ形の四角形に3等分されることは明らかですから、その面積は60の3分の1の20です。

ただし一般の三角形では合同な3つの四角形に分割できませんので、これはあくまでも検算で、記述問題の解答にはなりません。

回答No.4

staratras

さまざまな解き方が考えられますが、その一つを…。

△ABCの辺ACの中点をOとすると三角形の3つの中線は重心の１点で交わるので、BOを結ぶ中線も点Pを通ります。点Pは△ABCの重心になるので、BP：PO=2:1です。

辺ACを底辺と見ると△APCの高さと△ABCの高さの比はPO：BOの比に等しいので1:3となり、△APCの面積は△ABCの面積60の3分の1で20です。

ここで四角形MBNP=△BMC-△PNC=30-△PNC
また、△APC=△ANC-△PNC=30-△PNC　だから
四角形MBNPの面積は△APCの面積と等しく20です。

回答No.3

info33

四角形MBNP=S
=(1/2){△ABN+△ACM-△PAM-△PCN}

AN=NC, AM=MBなので
S =(1/2){(1/2)△ABC+(1/2)△ABC-△PBM-△PBN}
=(1/2) (△ABC - S)

2倍し
2S=△ABC - S

Sを移項して
3S=△ABC

3で割って
∴ S=△ABC / 3 =60/3 =20

回答No.2

koujikuu

ACの中点OからPへ線を引く
PからBへ線を引く
△AMC , △MCB , △ANC , △ABN の面積は同じで 30
( 三角形の面積 , 底辺×高さ÷2 )
△APC を△AMC △ANC が共有するので △APM と △PNC の面積は同じ
( △PBN , △PNC ) ,( △APM , △MPB ) も面積は同じ
△ABN , △MBC も □MBNP を共有するので
□MBNP と △APC の面積も同じで
△ABC 内の６ヶの三角形の面積は等しくなります

お礼

ありがとうございました

回答No.1

asuncion

MとNを結ぶと、△ABCにおいて中点連結定理からMN ∥ AC, MN = AC/2
求める四角形を△BMNと△PMNに分割する。
△BMN ∽ △ABCだから、△BMNの面積は相似比を使って出るはず。
△PMN ∽ △PCAだから、△PCAの面積がわかれば、△PMNの面積は
相似比を使って出るはず。
△PCAの面積を知るには、台形ACNMの対角線によって4つに分割されている
部分の面積比が出ればよいはず。