1次側の巻数は鉄心の磁束を決定します．発生磁束が電流と巻数に比例するためです．
（ただし，鉄心の飽和磁束密度を超えないことが前提）
2次側は電磁誘導で電圧が発生する，これも，磁束の変化に比例して起電力が発生するので
2次の巻数2比例した電圧が発生します．
電子レベルで教えるとはどういう意味なのかつかみかねますが
電流は電子の流れで表されます．電流=単位時間当たりの電荷移動量なので
電子の個数が何個通ったかに変換されます．コイル状のどこでも電流は同じなので
1次側の巻数が多いと言うことは,コイルを巻き方向に垂直に切るとき,断面に流れる電子の
数は巻数2比例します．このため,磁束が巻数に比例して大きくなります．
2次側は,磁束の変化から導線内の電子にローレンツ力が働くため,これが起電力の原因になります．
同じ鉄心に巻いてあるためコイル1巻と次の1巻で全く同じローレンツ力が働くため同じ起電力が発生します．
このため,巻数が多いと巻数に比例して,起電力が大きくなります．
補足
＞断面に流れる電子の数は巻数に比例します 電子の数は電流ですよね。電圧の説明にはなっていませんが・・・