数学の問題です！

質問

“つづら”といいます。お願いします。
数学の問題を教えてください。
ヒントではなく全部記述してもらえるとうれしいです！

回答No.2

muturajcp

n=4kの場合
n^2=16k^2=8(2k^2)=(1+3+4)(2k^2)
だから2k^2個の(1+3+4)で表すことができる
n=4k+1の場合
n^2=(4k+1)^2=16k^2+8k+1=8(2k^2+k)+1=(1+3+4)(2k^2+k)+1
だから{(2k^2+k)個の(1+3+4)}+1で表すことができる
n=4k+2の場合
n^2=(4k+2)^2=16k^2+16k+4=8(2k^2+2k)+4=(1+3+4)(2k^2+2k)+1+3
だから{(2k^2+2k)個の(1+3+4)}+1+3で表すことができる
n=4k+3の場合
n^2=(4k+3)^2=16k^2+24k+1=8(2k^2+3k)+1=(1+3+4)(2k^2+3k)+1
だから{(2k^2+3k)個の(1+3+4)}+1で表すことができる

回答No.1

deshabari-haijo

先ず、1+3+4=8であるから、n=1のとき、n^2=1^2=1=8×0+1と考えます。

n^2=8k+1（kは0及び自然数、nは必然的に奇数）のとき、
(n+1)^2=n^2+2n+1=8k+1+2n+1=8k+2(n+1)
nが奇数のとき、n+1は偶数になり、2(n+1)は4の倍数になるので、
(n+1)^2は、「8の倍数」または「8の倍数+4」になります。

ここで、n^2=8k（kは自然数）が成り立つとすると、
8=2^3であるから、k=2m^2（mは自然数）の形になります。
このとき、n=4mになります。
(n+1)^2=n^2+2n+1=8k+2×4m+1=8(k+m)+1「8の倍数+1」

また、n^2=8k+4（kは0及び自然数）が成り立つとすると、
8k+4=4(2k+1)であるから、n=2m（mは奇数）の形になります。
(n+1)^2=n^2+2n+1=8k+4+2n+1=8k+4+2×2m+1=8k+4(m+1)+1
mが奇数のとき、m+1は偶数になり、4(m+1)は8の倍数になるので、
(n+1)^2は、「8の倍数+1」になります。

以上から、すべての自然数nについて、
n^2は、「8の倍数」または「8の倍数+1」または「8の倍数+4」になります。
（証明終わり）