複雑な連立方程式２

質問

【もう一度お願いします。】
次の４つの式を満たす、α、β、γ　は簡単にａ、ｂ、ｃ、ｄで表現できるでしょうか？　全ての文字は実数とします。

　　　　　　４γ＾２－１６α＾２　＝　ｄ＾２＋ｃ＾２
　　　　　　４γ＾２－１６β＾２　＝　ａ＾２＋ｂ＾２
　　　　　　　　　　　　１６αβ　＝　ａｃ＋ｂｄ
γ＾４－４γ＾２（α＾２＋β＾２）　＝　（ａｄーｂｃ）＾２

　未知数３個に対し、式が４つあるので、一つは不要な気がしないでもありません・・・。
ご教授お願いします。

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

ANo.5 への蛇足。

ANo.3 の解法、
　　　↓
>　x^4 + (A-B)x^2 - C^2 = 0　　…(5)
>なる u = x^2 の二次方程式を得る。

… の (非負) 解 u = x^2 は、
　u = [ -(A-B) + √{ (A-B)^2+4*C^2 } ]/2

(非負) 解 v = y^2 は、
>　x^2 - y^2 = B-A　　　…(4)
から、
　v = u + (A-B) = [ (A-B) + √{ (A-B)^2+4*C^2 } ]/2

(非負) 解 w = z^2 は、
　w = u + A = [ (A+B) + √{ (A-B)^2+4*C^2 } ]/2

… だろう。
これらを
　γ^4 - 4γ^2(α^2+β^2) = w(w-x-y)/16
へ代入すると (ad-bc)^2 になる。

回答No.7

178-tall

ANo.6 への補足。

　γ^4 - 4γ^2(α^2+β^2) = { (ad-bc)/4 }^2
らしい … ということ。

回答No.5

178-tall

ANo.3 での錯誤を訂正。
　　　↓　これは、勘定ミスだった。
>上から 3 ケの右辺に数値を与えて連立解を勘定し、4 ケ目で検算すると不成立らしい。

上から 3 ケの右辺に数値を与えて連立解を求め、検算してみるとバス 。

つまり ANo.3 に例示したように、たとえば、上 3 ケ式から α, β, γ を求めて、4 ケ目で検算すれば OK…。

回答No.4

178-tall

ANo.3 への蛇足。

>　　　　　　４γ＾２－１６α＾２　＝　ｄ＾２＋ｃ＾２
>　　　　　　４γ＾２－１６β＾２　＝　ａ＾２＋ｂ＾２
>　　　　　　　　　　　　１６αβ　＝　ａｃ＋ｂｄ
>γ＾４－４γ＾２（α＾２＋β＾２）　＝　（ａｄーｂｃ）＾２

上から 3 ケの右辺に数値を与えて連立解を勘定し、4 ケ目で検算しすると不成立らしい。

要、再検討。

回答No.3

178-tall

(とりあえず、表現を単純化…) 4α=x, 4β=y, 2γ= z とおく。
　　　↓
　z^2 - x^2 = A　; A = c^2+d^2　　　…(1)
　z^2 - y^2 = B　; B = a^2+b^2　　　…(2)
　　　　 xy = C　; C = (ad-bc)^2　　…(3)

(2) から (1) を引き、
　x^2 - y^2 = B-A　　　…(4)
(3) から、
　y = C/x
これを (4) へ代入し、
　x^2 - (C/x)^2 = B-A
x^2 を掛けて、
　x^4 + (A-B)x^2 - C^2 = 0　　…(5)
なる w = x^2 の二次方程式を得る。

このあとに、残務がどっさり。

(1) (5) に w の非負解があるか？
(2) それを (4) へ代入したとき、y^2 の非負解があるか？
(3) (1), (2) にて、z^2 の非負解があるか？
(4) 原題の「第 4 の等式」は満たされるのか？

… など。

回答No.2

jcpmutura

4γ^2-16α^2=c^2+d^2…(1)
4γ^2-16β^2=a^2+b^2…(2)
16αβ=ac+bd…(3)
γ^4-4γ^2(α^2+β^2)=(ad-bc)^2…(4)

(1)*(2)から
16(γ^2-4α^2)(γ^2-4β^2)=(c^2+d^2)(a^2+b^2)
16{γ^4-4γ^2(α^2+β^2)+16α^2β^2}=(c^2+d^2)(a^2+b^2)
16{γ^4-4γ^2(α^2+β^2)}+256α^2β^2=(c^2+d^2)(a^2+b^2)
これに(4)を代入すると
16(ad-bc)^2+256α^2β^2=(c^2+d^2)(a^2+b^2)
↓両辺から16(ad-bc)^2を引くと
256α^2β^2=(c^2+d^2)(a^2+b^2)-16(ad-bc)^2
(16αβ)^2=(c^2+d^2)(a^2+b^2)-16(ad-bc)^2
↓これに(3)を代入すると
(ac+bd)^2=(c^2+d^2)(a^2+b^2)-16(ad-bc)^2
↓両辺に16(ad-bc)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)を加えると
16(ad-bc)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(ac+bd)^2=0
16(a^2d^2+b^2c^2-2abcd)-a^2d^2-b^2c^2+2abcd=0
15a^2d^2+15b^2c^2-30abcd=0
↓両辺を15で割ると
a^2d^2+b^2c^2-2abcd=0
(ad-bc)^2=0…(5)
これを(4)に代入すると
γ^4-4γ^2(α^2+β^2)=0
γ^2{γ^2-4(α^2+β^2)}=0…(6)

γ=0の時
(1),(2)に代入すると
0≧-16α^2=d^2+c^2≧0
0≧-16β^2=a^2+b^2≧0
α=β=γ=0

γ≠0の時
(6)の両辺をγ^2で割ると
γ^2=4(α^2+β^2)…(7)
↓これを(1)に代入すると
16(α^2+β^2)-16α^2=c^2+d^2
16β^2=c^2+d^2
↓両辺を16で割ると
β^2=(c^2+d^2)/16…(8)
(7)を(2)に代入すると
16(α^2+β^2)-16β^2=a^2+b^2
16α^2=a^2+b^2
↓両辺を16で割ると
α^2=(a^2+b^2)/16…(9)
↓これと(8)を(7)に代入すると
γ^2=4{(a^2+b^2)/16+(c^2+d^2)/16}
γ^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)/4…(10)

(5)から
ad-bc=0
↓両辺にbcを加えると
ad=bc
↓両辺をaで割ると
d=bc/a…(11)
↓これを(8)に代入すると
β^2=(c^2+b^2c^2/a^2)/16
β^2=c^2(a^2+b^2)/(16a^2)…(12)
(11)を(10)に代入すると
γ^2=(a^2+b^2+c^2+b^2c^2/a^2)/4
γ^2={(a^2+b^2)a^2+(a^2+b^2)c^2}/(4a^2)
γ^2=(a^2+b^2)(a^2+c^2)/(4a^2)
(9)(12)とこれから
α={±√(a^2+b^2)}/4
β={±c√(a^2+b^2)}/(4a)
γ=[±√{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}]/(2a)

-------------------------------------------------------------
なお
{(1)+(2)}×γ^2から、
4γ^4-16(α^2+β^2)γ^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)γ^2…(5)
は間違っています、4γ^4ではありません
8γ^4-16(α^2+β^2)γ^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)γ^2…(5)
です

お礼

有難うございます。もう少し問題を変えさせてもらいたいと思います。

回答No.1

deshabari-haijo

『QNo.9554431』への回答者です。
『QNo.9554431』は一応『解決済み』になっていますが、なお理解できていない点があれば補足してください。

参考URL：

https://soudan1.biglobe.ne.jp/qa9554431.html

補足

回答有難うございました。しめ切ってしまって・・・。

＞4γ^2-16α^2=d^2+c^2－(1)
＞4γ^2-16β^2=a^2+b^2－(2)
＞{(1)+(2)}×γ^2から、
＞4γ^4-16(α^2+β^2)γ^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)γ^2－(5)
γ^4の係数が８で、４だと簡単になりすぎてました。
すみません・・・。