連立方程式が解けません

質問

以下のa,b,c,dが求められません。　どなたか、解答手順も合わせて教えてください。

　a^2+bc=-1
ab+bd=0
ac+dc=0
bc+d^2=-1　　　　^2は2乗です

この４っつの連立方程式から導いてください、よろしくお願いします。

回答No.10

stomachman

方程式を満たすような実数の組< a, b, c, d >が無限個あるわけです。だから解の集合
　　{< a, b, c, d > | a∈R, b∈R-{0}, c=-(a^2+1)/b, d=-a}
を得たところで終わり。(Rは実数全体の集合、R-{0}は0でない実数全体の集合。）

　なので、ANo.6に一票だな。（ただ、「a=d=±i」ってとこ、a=dは言えない。ちょっとしたミスでしょう。）ANo.9はなんだか難しいようだけど、やはり同じ結論で、「二変数ぶんの自由度を残す」というのは「a∈R, b∈R-{0}なら何でも良い」ということに対応しています。

回答No.9

alice_44

問題の連立方程式は、2行2列の行列 A を
A=
a b
c d
と置いて
Aの2乗=-E　(Eは単位行列)
であることを、露骨に示している。

A に、ケイリー・ハミルトンの定理を適用すると、
上式と併せて、
(a+d)A=(-1+ad-bc)E
であることが判る。

a+d=0 の場合、この式は ad-bc=1 と同値であり、
解は二変数ぶんの自由度を残す。

a+d≠0 の場合、A=aE となるが、
aの2乗=-1 なので、実数解は無い。

回答No.8

NemurinekoNya

No.6です。訂正があります。

★誤
bc≦1

☆正
bc≦-1

回答No.7

NemurinekoNya

No.5です。

No.5の回答で
>a+d = 0の時を考える
a+d = 0 なので d = -a
連立方程式は
a^2+bc = -1
0=0
0=0
bc+a^2 =-1
となって解けない

☆
ここで
a = ±√(-1-bc)
(a,b,c,d) = (√(-1-bc),b,c,-√(-1-bc)), (-√(-1-bc),b,c,√(-1-bc))
（実数の範囲の議論ならbc≦1の条件がつく）
として続けようとも思ったのですが、不定方程式なるので、これを解にできない
と思ったんですよ。（これならNo.6の回答のb=0の制限が緩和される）

どっちがいいんでしょう？

質問がすこし曖昧で「関係式を求めろ」だったら、話は別なのですが…
皆さんはどう思いますか？

補足

皆様申し訳ありません、a,b,c,dは実数という条件が付いていました。

回答No.6

151A48

a^2+bc=-1・・・(1)
ab+bd=0・・・・(2)
ac+dc=0・・・・(3)
bc+d^2=-1・・・(4)

(1)-(4) (a+d)(a-d)=0
(2) (a+d)b=0
(3) (a+d)c=0

a+d≠0　のとき a=d ,b=0 , c=0
となるが(1)はa^2=-1となり、a=d=±i　(虚数単位）。

a+d=0 のとき(2),(3)は任意のb ,c で成立。
(1), (4)はbc=-1-a^2
b=0だとa=±i ,cは任意。
b≠0だとc=(-1-a^2)/b , aは任意。

実数の範囲だけに限れば、最後の
(a ,b ,c , d )=(a , b , (-1-a^2)/b , -a ) ：b≠0
のみ。

回答No.5

NemurinekoNya

a^2+bc = -1
ab+bd = 0
ac+dc = 0
bc+d^2 = -1

ab+bd = b(a+d) = 0
∴b = 0 または a+d = 0
ac+dc = c(a+d) = 0
∴c = 0 または a+d = 0

a+d = 0の時を考える
a+d = 0 なので d = -a
連立方程式は
a^2+bc = -1
0=0
0=0
bc+a^2 =-1
となって解けない

b=c=0の時を考える
すると連立方程式は
a^2 = -1
d^2 = -1
a = ±i
b = ±i
(iは虚数単位i = √-1)

よって求める解は
(a, b, c, d) = (i,0,0,i), (-i,0,0,i), (i,0,0,-i), (-i,0,0,-i)

回答No.4

村上 和隆（@kyouto_genki）

この４つの条件式では
a=0
b=-1／c
d=0
までしか解けません

※もしｂが整数という条件ならばｂ＝１、ｃ＝－１かｂ＝－１、ｃ＝１となりますが

村上原基人生勉強会：村上和隆

補足

a,b,c,dは実数という条件がありました。　すみません。。
　　ちなみにどのような計算過程でこの答えを導きましたか？

回答No.3

LHS07

ひらめきました。

1番上の式と一番下の式が1なんだから2乗が変数ａとｄが1で
他の変数ｂ、ｃが0なら成り立つと考えました。

a=1
b=0
c=0
d=1

回答No.2

angkor_h

1行目　a^2+bc=-1
4行目　d^2+bc=-1　

2行目　b(a+d)=0
3行目　c(a+d)=0

後はご自分でどうぞ。

回答No.1

LHS07

変数がa,b,c,dと４つあって
式も４つなので
解けます。
変数を少なくしていけば解けます。