1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋・・・を求める式

質問

f(n)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋・・・＋(1＋2＋3＋4＋・・・＋n)

このf(n)に該当する公式が存在すれば教えて下さい．

例えば，1＋2＋3＋4＋・・・＋n＝n(n＋1)/2 の様な公式が知りたいのです．

よろしくお願いします．

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋・・・＋(1＋2＋3＋4＋・・・＋n)
=n(n+1)(n+2)/6

お礼

ありがとうございました.

回答No.5

deshabari-haijo

既に正解が出揃っていますので、他の回答とは異なる考え方をしてみました。

f(n)
=1×n+2×(n-1)+…+(n-1)×2+n×1
=1×n+2×(n-1)+…+(n-1)×[n-(n-2)}+n×[n-(n-1)}
={1+2+…+(n-1)+n}n-{1×0+2×1+…+(n-1)(n-2)+n(n-1)}
={∑(k=1～n)k}n-{∑(k=1～n)k^2-∑(k=1～n)k}
=n^2(n+1)/2-{n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2}
=n(n+1){3n-(2n+1)+3}/6
=n(n+1)(n+2)/6

なお、
1^2+2^2+…+(n-1)^2+n^2=∑(k=1～n)k^2=n(n+1)(2n+1)/6
は、次のようにして導き出せます。
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
この式の左辺のkに1～nを順に入れていくと、例えば、2^3-2^3、3^3-3^3のように打ち消し合って、最終的に残るのは、
(n+1)^3-1^3=n^3+3n^2+3n=n(n^2+3n+3)
になります。
同様に、右辺のkに1～nを順に入れていくと、次のようになります。
3∑(k=1～n)k^2+3n(n+1)/2+1×n

よって、
n(n^2+3n+3)=3∑(k=1～n)k^2+3n(n+1)/2+1×n
3∑(k=1～n)k^2=n[2n^2+6n+6-3(n+1)-2}/2
3∑(k=1～n)k^2=n(2n^2+3n+1)/2
3∑(k=1～n)k^2=n(n+1)(2n+1)/2
∑(k=1～n)k^2=n(n+1)(2n+1)/6

お礼

変わった考え方の投稿，ありがとうございました．
参考になります．

回答No.4

kiha181-tubasa

1+2+3+........+n=n(n+1)/2
を使います。

f(n)=Σ(k=1,k=n)(k(k+1)/2)
=Σ(k=1,k=n)(1/2(k^2+k))
=Σ(k=1,k=n)(1/2)k^2+Σ(k=1,k=n)(1/2)k

あとはΣの公式で解けます。

※　何でも公式で解けると思うのは誤った考えです。必要なことは泥臭い計算だと思います。どうしても公式が欲しいのなら個の計算の結果出た答を「公式」だと思えば良いでしょう。
※　公式（定理）はまず自分で証明してください。大学入試の２次試験などでは，公式を使ってすぐ答えが出る問題はあまり出ません。公式で答が出せるような問題が出題されるのは，高校の定期テストか小テストです。大学入試の２次試験（記述式）ではむしろ公式を証明する方法を使う問題が出ます。

お礼

ご投稿，ありがとうございました．

回答No.3

staratras

f(n)＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋・・・＋(1＋2＋3＋4＋・・・＋n)

2項（()二つ）ずつまとめますと、
f(n)＝4+16+36+64+…＝2^2+4^2+6^2+8^2+…、偶数の2乗の和となり、2乗の和の公式が使えます。ただしnが奇数だと最後の項が半端になりますので、一応場合分けします。

nが偶数のとき、n=2m とおくと
f(n)=2^2+4^2+6^2+8^2+…
=4(1^2+2^2+3^2+4^2+m^2)
=4(m)(m+1)(2m+1)/6 ここでm=n/2を代入すると
f(n)=n(n+2)(n+1)/6=n(n+1)(n+2)/6

nが奇数のとき、n=2m+1とおくと　
f(n)=2^2+4^2+6^2+8^2+…
=4(1^2+2^2+3^2+4^2+m^2)+(1＋2＋3＋4＋・・・＋n）
=4(m)(m+1)(2m+1)/6+n(n+1)/2 ここでm=(n-1)/2を代入すると
f(n)=n(n-1)(n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n^2-1+3n+3)/6=n(n+1)(n+2)/3

どちらの場合も、f(n)=n(n+1)(n+2)/6

お礼

更に，場合分けしての分析，ありがとうございました．
参考になります．

回答No.2

asuncion

数列{a(n)} = {1, 3, 6, 10, 15, ...}を考える。
a(n)の階差数列を{b(n)}とすると、
{b(n)} = {2, 3, 4, 5, ...}よりb(n) = n + 1
よってn ≧ 2においてa(n) = a(1) + Σ(k=1～n-1)b(k) = 1 + n(n-1)/2 + (n-1) = n(n+1)/2
この式はn = 1でも成り立つので、
a(n) = n(n+1)/2
f(n) = Σ(k=1～n)a(n) = (n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2)/2
= n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)/4
= {n(n+1)/4}・{(2n+1)/3 + 1} = {n(n+1)/4}・{(2n+4)/3} = n(n+1)(n+2)/6

お礼

f(n) = n(n+1)(n+2)/6 の導出過程を詳しく解説いただき，ありがとうございました．