固有値、固有ベクトルと対角化

質問

行列における固有値、固有ベクトル、対角化の法則についてよく分かっていないので画像を参考に答えていただければいいなと思っています。

Q1.この時の解は、V1＝-1、V2＝1でも成り立つけどそれでもいいのか？
Q2.絵画上記の様にたくさんできるけどもこの時、どうすればいいのか？何か法則や規則のようなものはあるのか？
Q3.この時の並び方は、上のような並び方でもいいのか？また、3×3の場合では、どうすればいいのか？

以上です。
画像や字が読みにくいようでしたら申し訳ありません。

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回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
それでもいいし，もっと言えば定数倍だけの自由がある。
(2)
どれを使っても対角化は可能です。でもなるべく簡単な固有ベクトルを選ぶことが多いです。簡単なものの基準としは，固有ベクトルの絶対値が1になるようにすることが多い。まあ，これでも方向が逆になる2つのベクトルが考えられますが...
(3)
-3でなく3になっているけど単なる誤植だろう。
固有ベクトルの順番はなんでもいいです。その順番によって，計算される対角行列の対角成分の順番が変わるだけですから。
3x3の場合でもやり方は変わりませんよ。固有値3つとそれに対応する3次元の固有ベクトル3つを求めて並べるだけです。