ベストアンサー 複素関数の写像の問題を教えて下さい。 2018/07/21 18:26 「写像w=Az(A:複素数)は直線を直線に、円を円に写すことを示せ」という問題です。お願いいたします。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー f272 ベストアンサー率46% (8653/18507) 2018/07/21 19:22 回答No.1 Aが複素数であれば実数rとθを使ってA=r(cosθ+isinθ)と表せるので，Aを掛けることは原点の中心にしてθの回転と原点についてr倍の相似拡大する変換である。 したがって直線を直線に円を円に写す。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 1 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 複素関数に関する質問 春休みに入ったので、応用数学の演習問題をやっているのですが、 複素関数の分野で分からない問題がいくつかあります。 休み中なので、誰かに聞くことも難しいため解説、解答をよろしくお願いします。 1. 実数を係数とする代数方程式 f(x)＝０ が、実数でない複素数ｚを解に持つならば、 共役複素数ｚ～（ゼットバーのつもり）も解であることを証明せよ。そのとき z = a+ib とすれば、整式 f(x)＝０ は x^2－2ax＋a^2＋b^2 で割り切れることを 証明せよ。（^は階乗） 2. w = 1/z により、次の直線または円はどんな直線または円に変換されるか。 (1) 単位円 |z| = 1 と２点 P、Q で交わる直線 (2) 単位円に１点 P で接する直線 (3) 点 i を中心とし原点を通る円 3. 次の関数は z 平面のそれぞれの領域を w 平面の単位円の内部に 写像することを示せ。 (1) w = （z^2 - a）/（z^2 - a～）、Im a ＞ ０、 第１象限 ｛z | ０ ＜ arg z ＜ π/2｝ (2) w = （e^z - 1）/（e^z + 1）、帯状領域｛z | －π/2 ＜ Im z ＜ π/2｝ ( ^ は階乗、～はバー) z平面をw平面に写像する1次写像w=(az+b)/ z平面をw平面に写像する1次写像w=(az+b)/(cz+d)で、次の条件を満たす写像を求めなさい。ただし、a,b,c,dは複素数です。 (1)3点1-i,1+i,0を3点1+i,1-i,iに写像する。 この問題の途中式が全く分かりません。 途中式込みでよろしくお願いします。 初めての複素関数の勉強 w=1/zで表される、複素平面z=x+iyから、複素平面w=u+ivへの写像を考える。z平面上の直線x=a(a>0)のw平面上の写像を求めよ。 という問題です。 この問題を解くにあたり、初めて複素関数の勉強をしました。 本を借りてきて調べると、どうやら虚軸または実軸に接する円になる、 というところまでは分かったのですが、円の中心と半径がどのように なるのかがよく分かりません。 この問題だと、円の中心と半径を求めろということだと思うのですが、 それでいいんですよね？ 解き方を教えてください。 よろしくお願いしますm(_ _)m 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 複素関数で・・ ｗ＝ζ・(z－α)/(-α￣ｚ＋１） （｜ζ｜＝１、｜α｜＜１）をｚ平面の単位円の周を、ｗ平面の単位円の周と内部に写像することをしめせ。また０から1/2, 1を-1に移す一次変換を求めよ。（＊一行目はマイナスαバーです。）なんですが写像はなんとか代入してできました。があまり自身はありません。また一次変換のほうですが、ζを実数で考えてしまい答えには、なったのですが複素数の概念を考えてないので駄目でした。どなたかお願いします。 写像の問題について 写像の問題が分かりません。どなたかわかる方、回答よろしくお願いします。 (1)関数w=z^l(lは正の実数)によって、ｚ平面上の領域0<argz<θはw平面上のどのような領域に写像されるか。 (2)z平面上の領域Ψ<argz<π-Ψ(０<Ψ<π/2)をw平面の上半面(0<argw<π)に写像する関数を求めよ。 (3)関数w=z+1/zによる、z平面の原点を起点とする半直線の写像を求めよ。また、この関数による写像がz=1で等角でないことを示せ。 (4)z平面上の領域x^2/cos^2Ψ-y^2/sin^2Ψ<4をw平面の上半面(0<argw<π)に写像する関数を求めよ。ただし、Ψは0<Ψ<π/2 複素関数 zを複素数とするとき、w=z^3により、z平面はw平面にどのように写像されるか。また、z=w^1/3のリーマン面を図示せよ。 という問題で、前半部分を教科書で調べたところ、w=z^3の逆関数w^3=zを満足するwをzの関数として解いていくのですが、どうしてこのような手順で解くのか分かりません。 また、後半部分は全く分からないので、どなたか教えてください。 複素数 等角写像の問題 『W=(az+b)/(cz+d) (a,b,c,d は実数で、ad-bc=1 が成り立つ) このWについて次の問題に答えよ。 （１）zの虚部が正であるとき、Wの虚部も正であることを示せ。 （２）z平面において実軸上に中心がある上半面は、W平面の実軸上に中心のある上半面、又は実軸に垂直な半直線に写像されることを示せ。』 という問題なのですが、これらはどちらもW=u(x,y)+iv(x,y)と考えて解けばいいのでしょうか。 またad-bc=1の関係式はどのようにして用いるべきでしょうか。 どなたか分かる方がいましたらアドバイスなどよろしくお願いします。 複素関数の写像の問題です。 z平面で定義された一次分数変換ω=f(z)で領域｛z││z-1│<1} を{ω│Imω＞0}に写像し、かつf(1/2)=i f(0)=0であるものを求めよ。という問題なのですが、解答は非調和比保存の定理を用いて解答しているのですがその際 z=2の点がなぜω=∞になるのか分からなく困っています。手助けお願いします。 写像であって関数でない例 写像であって関数でない例で説明上、非常にわかりやすい例を探しています。 関数は写像の一部で、終域が実数や複素数などの体になっているものを言うと思いますが、何かわかりやすく説明できる例などはないでしょうか？ 複素関数 zは複素数とします。 [1] f(z)=1/(az-sinz) Re(z)>0,Im(z)>0(不等号は0を含みます),a=1/2とし、絶対値の小さい方から三つあげなさい。 について、sinzやcoszとはどういうことなのでしょうか？ [2] f(z)=1/(z^5+z-1) の特異点をもとめなさい。 について、特異点について教えてください。 複素解析の写像について f(z) = (z-i)/(z+i) (z ≠ -i) によるy=1の直線の写像はどのような曲線になるか。というもんださいがわかりません。よろしくお願いします。 写像の問題をお教え下さい。 いくら考えても全くわかりません。 お教えいただければ大変嬉しいです。お願いします。 問題 Ａをm×n行列とし、行列とベクトルの積で与えられる線形写像A:R＾n →R＾m：x ↦ Axを考える。 以下の問いに答えよ。 (1) 写像Aが単射であるならば、n ≤ mであることを示せ。 (2) n ≤ mであって、写像Ａが単射でない例をあげよ。 (3) 写像Aが単射であるならば、rankA = nであることが必要十分であることを示せ。 (4) 写像Aが全射であるならば、n ≥ ｍであることを示せ。 (5) n ≥ mであって、写像Aが全射でない例をあげよ。 (6) 写像Aが全射であるならば、rankA = mであることが必要十分であることを示せ。 (7) もしn = mならば、写像Aが全単射であることとAが正則であることが必要十分であることを示せ。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 複素関数論における等角写像と工学問題 複素関数論のテキストの後方の25％ぐらいのところまで来ると、等角写像が出てきます。このあたりは現実的な工学的問題と関連が出てきます。近年の計算機時代のものと異なり、古典的なアプローチであり、効果は限定的にはなると思いますが。 工学問題はモノの形状をできるだけ正確に表現できるというところがポイントなので、航空機の翼型などを表現するのに使えるようなのです。しかし、複素関数論の本を読んでも航空力学関係の本を見ても以下のような疑問があります。 １．複素関数論では、複素数の空間の間での写像変換の式が正則であれば、変換前後で座標の交差角が変わらない、との説明があるが、それがどのように役立つのか見えにくいです。 ２．航空力学ではその写像変換を複数回繰り返して解が求まる空間を求めて解を得る という風に読めます。シュワルツクリスフォッフェル変換ということになっていくようですが。 そこで疑問なのですが、工学として自分が対象としている複雑形状に対してどのような写像変換をしていけば解に到達できるのかの説明がないように思えます。航空力学の方ではなぜ、そのような変換を行って何を目指そうとしたのかが分からないので本を読んでも理論を鑑賞するだけになってしまってしまい、自分の問題に応用することができません。冒頭にも書いたように最近はこのような研究アプローチも少ないので大方の関心は少ないと思いますが、この理論を自由に自分の問題に応用するにはどうしたらいいのでしょうか。工学問題では数学的な厳密性がある程度犠牲になっても近似的にでも解が求まるという面はあり、と思っています。よろしくお願いします。 複素関数～単位円を単位円に写像する変換について～ 複素関数で単位円を単位円に写像する変換についてお尋ねします。 z 平面の単位円周をω 平面の単位円周に写像する１次分数変換は，以下の（1）、（2）のいずれかの形で表されることが一般に知られているそうなのですが、(1)はわかるとして、（2)の特に分数の分母の部分になぜ (α^{*}・z － 1) が来るのかがよくわかりません。(αはz 平面の単位円周の中心を表していると思っています。) もしも、わかられる方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？ (1) ω = γ/z ( | γ | = 1) (2) ω = γ(z － α)/(α^{*}・z － 1) ( | γ | = 1, | α | = 1, α^{*}はαの共役複素数) 何卒、よろしくお願いします。 複素関数論の問題です。 複素関数論の問題です。 Z=1、i、-1 をそれぞれｗ=0、∞、1に写像する一次分数変換ｗ(z)を求めよ ご回答お願いします。 また、 Z=∞、0、1 ｗ=1、i、-1 この場合とでは解き方は大きく変わるのでしょうか？ よろしくお願いします。 複素関数 関数w=1/z' (z':zの共役複素数)について 円|z-3i|=1はどんな図形に移るか ちなみに答えは|w-3i/8|=1/8でした 解説をお願いします 複素数の問題です 大学受験生です。 「一般に、点Ａ（a）とすると（aは複素数）、 ＯＡベクトルに垂直な直線は - - (左の棒はバーです） az+az=k （kは実数） の形で表される。」 というのがわかりません。k=0になってしまい、実数全体というのがわからないです。できれば、わかりやすく教えていただけると幸いです。よろしくお願いします。 複素関数の問題です。 この問題の回答方法が分からないのですが、回答方法をどなたか教えていただけませんか？ よろしくお願いします。 次の各曲線C に沿って ∫(z^2 + 3z) dz を計算せよ。 (1) 円| z | = 2 の部分で，2 から2i まで（反時計まわり）。 (2) 2 から2i までの直線。 (3) 2 から2 + 2i までの直線と，2 + 2i から2i までの直線。 答え： ３つの場合とも－44/3-8i/3 複素関数の問題です。 複素関数の問題です。 zは複素数 ∫f(z)|dz|は何を求めているのでしょうか？ 同型写像に関する問題 問題を解いていて Ａ→Ｂが環の同型写像であるとき、その既約剰余群 (A)^* → (B)^* が群の同型写像になるってことを証明しないといけないらしいんですが、そのままいえないんですか？ どうやって証明すれば良いんですか？ 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
