ln(z)について

質問

lnの真数は正の実数と高校では習いましたが、０以外なら何でも良いらしいので、ln(z)=ln|z|+iarc(z)ならば、ln1=0と習いましたが、iarc1の部分ln1=２πin（ｎは整数）というのが本来の値と考えてよいのでしょうか？

回答No.2

info33 · ベストアンサー

対数関数ln(x)のx (x>0, x≠1) を複素数z=|z|e^(iθ) (≠0)まで拡張すると
複素対数関数ln(z)は
ln(z)=ln(|z|)+i(θ+2nπ) (nは任意の整数, i は虚数単位)
で定義されます。ln(z)は多価関数となります。

>ln(z)=ln|z|+iarc(z)ならば、
i arc(z) は i (arg(z)+2nπ) の間違い.

> ln1=0と習いましたが、
高校数学で習うのは変数が実数の対数関数だけですから
ln(1)=0
で正解です.

> iarc1の部分ln1=２πin（ｎは整数）というのが本来の値と考えてよいのでしょうか？
iarc(1)は i arg(1) の間違いです. arg(1)=0です.

実数の対数関数 ln(x) or log(x) (高校数学で習う範囲)では ln(1)=0.
大学数学で学習する複素対数関数ln(z)では ln(1)= i 2nπ(nは任意の整数)です.
大学数学でも実数の対数関数 ln(x)では ln(1)= 0 ですから混同しないようにしてください.

お礼

詳細なご回答ありがとうございました。途上国の低速回線状態でインターネットをしているので、なかなかコメントができませんでした。

回答No.1

f272

対数関数の定義域を実数に限れば，log1=0です。
しかし定義域を複素数にまで拡張するときはlogz=log|z|+i*arg(z)と定義します。従ってlog1=log|1|+i*arg(1)=0+i*2πn=i*2πnです。多価関数になるのですね。
これを嫌って1価関数になるように制限することが多いです。このときは偏角を (－π, π] に制限して対数関数の主値とよびLogzのように書きます。

お礼

早急な回答、ありがとうございました。