統計2級の問題

質問

問
https://gyazo.com/927f226a545fdc2091dd772d40c9c6a4

回答例
https://gyazo.com/718e106013dfd797e840b5eb397f9a63

標準誤差＝σ/√n　ですが
なぜ、σ^2 を4倍しているのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.7

noname#231195

#6ですが、端折って書いたので、意味が不明になるかもしれませんので、書き直しておきます。
冒頭の箇所です。

標本から不偏分散を計算して、それを母集団の分散とみなし、その平方根を標準誤差としています。

「その平方根を」の部分を付け加えました。

回答No.6

noname#231195

#です。

>標準誤差は標本の標準偏差です。
ちがいます。
標本から不偏分散を計算して、それを母集団の分散とみなし、標準誤差としています。

もともとx̅には誤差があります。ですから、x̅から計算したNにも誤差があります。x̅とNは関数関係にありますから、Nの誤差(つまり母集団のNの分散)も計算できる、とそれだけのことです。

回答No.5

f272

#1です。

> 標準誤差＝σ/√n　でないなら、何なのでしょうか？

すでに#2&#3さんが詳しく書いていると思うのだが...
平均がμで分散がσ^2 に従う母集団からサンプルサイズnの標本を抽出するときであれば，標本平均x̅ の標準偏差(標準誤差)はσ/√nですよ。
でも，ここで問題にしているのは標本平均x̅ の標準偏差ではなくて，Nという確率変数の標準誤差です。Nとx̅ の関係はN=2 x̅ -1 ということもわかっているのでしょ。だったら，あなたも
> 確率変数を定数倍したものの分散は、元の確率変数の分散を定数の2乗倍したものになるということですよね。
と書いているように，Nの分散は x̅の分散の4倍になります。

お礼

そもそも、標準誤差は標本の標準偏差です。
Nは入場者数の推定値ですので、標本ではありませんよね
確率変数の標準誤差など存在しないのではないでしょうか

回答No.4

noname#231195

>標準誤差＝σ/√n
・・・
>になるのではないでしょうか？

なりません。

#2でも書いたように、標準誤差というのは推定量の標準偏差を意味します。
σ/√nはそのNの標準偏差になりません。
それが推定値の標準偏差になるのは、一人一人の身長を測って300人の平均身長を求めたというような場合です。
その問題の回答でもある人が持っている整理券の番号の分散から、n人の番号の平均の標準誤差(標準偏差)をσ/√nと言う方法で求めて、それを使っています。

もっとも、x̅ が整理券の番号の平均値として、N=2 x̅ -1という以外の方法でNを推定したのならその限りではありません。
ただ私は他の方法でNを推定する方法は思いつきませんでした。

お礼

すみませんが意味が分かりません。

補足

どの参考書にも、標準誤差＝σ/√n　このように記載されています。
標準誤差＝σ/√n　でないなら、何なのでしょうか？

回答No.3

noname#231195

#2です。

だって、N=2 x̅ -1 でしょ？

あるいは、N やx̅が私の見当を付けたものと違う量を表しているのかもしれませんが。

お礼

N=2 x̅ -1　は入場者数です。
平均自体を2倍しているわけではありません。
おっしゃったサイコロの目の場合、6→12にしているので、分散も2^2しているのではないですか

話が平行線ですので質問を変えます。
この問題は入場者数の標準誤差を聞いています。
N=入場者数
n=300
標準誤差＝σ/√n
σ^2＝(30000^2-1)/12
((30000^2-1)/12)/√300

になるのではないでしょうか？

回答No.2

noname#231195

横から失礼します。

そういう質問ならがNや x̅ が何を意味しているのか書いてくれないと、読んでいる人には質問の意味そのものが分からないですよ。

ここでは仮にNが入場者数を表し x̅ が回収した整理番号の平均値を表していると考えて書きます。
σは文脈から推し測るに標準偏差を表しているのでしょう。たぶん。

まず最初に、標準誤差というのは推定量の標準偏差を意味しますから、「標準誤差＝σ/√n」と丸暗記しても意味がありません。あくまで推定量の標準偏差を計算しなければならないです。

N=2 x̅ -1 と言う式は、 x̅ がどう計算されるかということから考えたほうが簡単だと思います。
x̅ =(N+1)/2 という式が成り立つのはすぐわかりますよね。その式をNについて解いたのがN=2 x̅ -1 です。

一般に確率変数Xがあり、その分散がσₓ²で表すことができる場合、V=aXの分散はσᵥ²=a²σₓ²で表すことができます。
これは当然のことで、例えば、サイコロの目が2,4,6,8,10,12と言う風に通常のサイコロの目の2倍になっている場合、分散の値が4倍になるのは明らかですね。

そういうわけですからNの標準偏差を計算するのに、"σ^2 を4倍している"のです。

σ/√nというのは、n個のサンプルの平均値の標準偏差です。
普通、実験などでは5回とか10回とか繰り返した値の平均を取りますし、工業製品でも3個とか5個とかのサンプルの平均値を評価したりします。ですからその平均値の標準偏差であるσ/√nを標準誤差としています。

お礼

ご連絡ありがとうございます。

＞一般に確率変数Xがあり、その分散がσₓ²で表すことができる場合、V=aXの分散はσᵥ²=a²σₓ²で表すことができます。
＞これは当然のことで、例えば、サイコロの目が2,4,6,8,10,12と言う風に通常のサイコロの目の2倍になっている場合、分散の値が4倍になるのは明らかですね。

確率変数を定数倍したものの分散は、元の確率変数の分散を定数の2乗倍したものになるということですよね。
それであれば分かりますが、今回の問題については、元の確率変数を2倍したところは見当たりません。

回答No.1

f272

N=2*E[x]-1
だからです。

お礼

なぜ、そうなるかが分からないので質問しています。