７－４ 至急是非宜しくお願いします 数学 ベクトル
△ABCと正の定数kが与えられている。動点P、Qはa,bを実数として、↑OP=a↑OA,↑OQ=b↑OB,1/a+1/b=1/kをみたしている。
直線PQは定点を通ることを示せ。
その定点をRとするとき、↑ORを↑OA,↑OB,kで表せ
解説 直線PQ上の点Xは↑OX=t↑OP+(1-t)↑OQ=at↑OA+b(1-t)↑OBの形で表せる。
よって適当な定数mについて、at=m・・・(1)によってtを定めたときにb(1-t)がa,bによらない定数にできることを示せばよいが
(1)のときb(1-t)=b(1-m/a)=b{1-m(1/k-1/b)}=b(1-m/k)+m
であるから、m=kとすればb(1-t)=k(定数)となり題意は示された。また、↑OR=k(↑OA+↑OB)・・・(2)
ここまでが普通の解説で理解できました
次に別解なのですがa→∞,b→k:a→k,b→∞の2つの場合を考えることにより(2)となるしかないことを見抜くと直線PQ上の点Xは次の形で表せる
↑OX=s↑OP+t↑OQ(s+t=1)
=sa↑OA+ｔb↑OB 1/a+1/b=1/kに注意してs=k/a,t=k/bとおくと
s+t=1であって、↑OX=k↑OA+k↑OBとなるから直線PQは↑OR=k(↑OA+↑OB)なる定点Rを通る
(注)|↑OA|=|↑OB|,↑OA⊥↑OBの場合について座標で考えることによっても(2)は見つかります。
とあるのですが、a→∞,b→k:a→k,b→∞の2つの場合を考えることにより(2)となるしかない
とありますがa→∞,b→k:a→k,b→∞の2つの場合を考えると何故(2)しか無いとなるのですか？
後はs=k/a,t=k/bとおくととありますが、確かに足して1になりますが、これはすぐに思いつかないのですが、何で足して1になる数字でこう都合よくこの値が出てきたのでしょうか？
どうやって思いついたかが分かりません
後は注の内容が良く分かりません、|↑OA|=|↑OB|,↑OA⊥↑OBの場合を座標で考えると言うのがどういうことなのか分かりません
