物を落として衝突音が聞こえるまでの時間から高さ計算

質問

高い建物から物を自由落下させ、地面に衝突した音が聞こえるまでの時間が分かるとき、時間から高さを算出する方法を教えて下さい。

「高い建物から物を自由落下させ、地面に衝突した音が聞こえるまでの時間」を「t」秒とします。自由落下の時間をt1、地面に衝突してから自由落下させた高さに音が聞こえるまでの時間をt2とします。つまり「t = t1 + t2」。

自由落下の時間から高さ(m)を求める式は以下。
「h = 1/2 * g * t1^2」※gは重力加速度、展開しなくていいし、9.8で計算してもてもいい。

音速を単純に340m/秒とすれば
「h = 340 * t2」

「t = t1 + t2」(1)
「h = 1/2 * g * t1^2」(2)
「h = 340 * t2」(3)

の3つの式をもとに、tからhを算出する式を導き出したいです。
この導き出し方を教えて下さい。よろしくお願いします。

※特に何かの課題・入試問題等ではないので、そもそも前提にすら間違いがあるかもしれません。もし間違いがある場合には、その指摘もお願いします。

高校の知識の組み合わせで算出できると思ったのですが、思いのほかはまってしまいました。一応、自分の思考の過程も書いておきます。
(1)を(3)に代入し変形して以下になり、
「h = 340 * (t - t1)」(3-1)
「(h / 340) = t - t1」(3-2)
「t1 = t - (h / 340)」(3-3)
(3-3)を(2)に代入したら、「え？」となってしまい、そもそもアプローチ方法が違うのかなとなってしまいました…。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> つまり、tが具体的に定まらない限りは、(2-2)で終わりってことですかね？

そんなことはないだろう。
(2-2)から
h = 1/2 * g * (t^2 - 2t * (h / 340) + (h / 340)^2)
t^2 - 2t * (h / 340) + (h / 340)^2 = 2h/g
(h / 340)^2 - 2t * (h / 340) - 2h/g + t^2 = 0
(h / 340)^2 - 2 * (t + 340/g) * h/340 + t^2 = 0
だから
h / 340 = (t + 340/g) - √((t + 340/g)^2 - t^2)
h = ((t + 340/g) - √((t + 340/g)^2 - t^2) ) * 340
ですね。
ちなみにこの2次方程式の解としてプラスの方を取らないのは，t1 = t - (h / 340) > 0つまりt > (h / 340) だからです。

お礼

あぁ…解の公式を使えるように整理すればいいんですね。よく考えると高1数学の基本の組み合わせですね…。解の公式がうろ覚えの状態の私にはもはや自力で解くのは難しい問題でした。

とにかく助かりました。スッキリしました。ありがとうございました

回答No.2

aokii

正しいですよ。
どうして、(3-3)を(2)に代入したら、「え？」となってしまうのですか？
アプローチ方法も正しいです。
t1=t-t2
t2=h/340
h=1/2*g*(t-t2)^2
t1=(t-t2)^2
h=340mの時、t1=8.32993128s、t2=1s、t=9.322993128s
340=0.5*9.8*(t-t2)^2=0.5*9.8*8.32993128^2

お礼

ありがとうございました

回答No.1

f272

> (3-3)を(2)に代入したら、「え？」となってしまい、そもそもアプローチ方法が違うのかなとなってしまいました…。

どうしてそう思うの？代入したら，残る変数はhとtだけになって，これがやりたかったことですよね。あとは2次方程式を解けばよい。
高校までの知識でとけるでしょ。

お礼

ありがとうございました

補足

>あとは2次方程式を解けばよい。
>高校までの知識でとけるでしょ。

あれ、そうですか。じゃあ、こうでいいのですかね。
(3-3)を(2)に代入して…
「h = 1/2 * g * (t - (h / 340))^2」(2-1)
「h = 1/2 * g * (t^2 - 2t * (h / 340)) + (h / 340)^2)」(2-2)
これで一旦終わりってことですかね。

そしてtが具体的に決まったあとに(2-2)のtに秒数を代入して
hの2次方程式にするってことですかね。

つまり、tが具体的に定まらない限りは、(2-2)で終わりってことですかね？