A, B ⊂ (n次元実数空間) がA∩B=0を満

質問

A, B ⊂ (n次元実数空間) がA∩B=0を満たす閉集合で、かつdist(A, B)=0となるようなA, Bは例えばどんなものがありますか。分かりやすく教えていただけると助かります…m(_ _)m

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

dist(A, B) = inf{ |x-y| | x∈A, y∈B} という定義でいいですよね？

例えば
A = { ( (2n)^(1/2), 0, 0, ..., 0 ) | nは自然数 }
B = { ( (2n + 1)^(1/2), 0, 0, ..., 0 ) | nは自然数 }
とおけば、そのようになっている。

AとBに共通点はない。AもBも集積点がないので閉集合。一方、lim(n→∞) | (2n + 1)^(1/2) - (2n)^(1/2) | = 0なので、dist(A, B)は確かに0になる。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます…！！！とても分かりやすくて、納得できました！ AとBが有界である場合条件を満たさないのですね😳
AとBについてなんですが、A＝｛(2n)^1/2 | nは自然数｝、B＝ ｛(2n＋1)^1/2 | nは自然数｝
といった解釈でも問題ないのでしょうか…？ 後ろに0が続く理由がよく分からなくて…💦💦

回答No.4

tmpname

> 後ろに0が続く理由がよく分からなくて
「n次元実数空間」と書いてあるから。つまり((2n)^(1/2), 0, 0, ..., 0 )は、第一成分が (2n)^(1/2)で、その他の成分が全て0の点、という意味です。（その他の例もありますが、その方が分かり易いので）

お礼

なるほど！ 分かりました…！！ ありがとうございますm(._.)m💦

回答No.3

tmpname

ちょっと修正
> ところで Bolzano–Weierstrassの定理から、有界な点列は(R^nの中で）収束する部分列を持つ。そのような{x(n)} , {y(n)} の部分列を{a(n)}, {b(n)}とおけば、やっぱりlim(n→∞) |a(n) - b(n)| = 0となるが、

これは、こうでないとまずい。
ところで Bolzano–Weierstrassの定理から、有界な点列は(R^nの中で）収束する部分列を持つ。従って、{x(n)} , {y(n)} の部分列{a(n)}, {b(n)}であって、且つlim(n→∞) |a(n) - b(n)| = 0 となるようなものが取れるが、

回答No.2

tmpname

悩みどころを書いておくと:

dist(A, B) = 0だから、Aの点列{x(n)}、Bの点列{y(n)}があって、lim(n→∞) |x(n) - y(n)| = 0となる。ここで、『{x(n)} がもし有界なら』、明らかに{y(n)}も有界。
ところで Bolzano–Weierstrassの定理から、有界な点列は(R^nの中で）収束する部分列を持つ。そのような{x(n)} , {y(n)} の部分列を{a(n)}, {b(n)}とおけば、やっぱりlim(n→∞) |a(n) - b(n)| = 0となるが、今{a(n)}, {b(n)}は(R^nの中で）収束するので、その収束先をそれぞれa, bとおくと、A, Bは閉集合、と言っているので、a∈A, b∈Bとなる。
結局これは |a-b| = 0と言っていることと同じなので、a=b、従って A∩B≠φ ... だめじゃん！！

... というわけで、何がまずいかと言えば、dist(A, B) = 0だから、Aの点列{x(n)}、Bの点列{y(n)}があって、lim(n→∞) |x(n) - y(n)| = 0となる事は確かだけど、問題はこの{x(n)}、{y(n)}はどちらも『有界でない』ようなものを考えなければいけません。つまり、ざっくりいえば無限遠方で距離が限りなく0になるようなものを考える必要があって、これをもとに、さっき私が書いた例を見てみてください。